Dynamika: siła grawitacji

Wstęp — od jabłka do Księżyca

Legenda głosi, że Isaac Newton wpadł na trop grawitacji, patrząc na spadające jabłko. Genialne w jego pomyśle było to, że ta sama siła, która zrzuca jabłko z drzewa, utrzymuje Księżyc na orbicie wokół Ziemi, a Ziemię — wokół Słońca. Grawitacja to najpowszechniejsze oddziaływanie we Wszechświecie: przyciągają się nawzajem wszystkie ciała mające masę.

W tej lekcji poznasz prawo powszechnego ciążenia, nauczysz się odróżniać masę od ciężaru i zrozumiesz, skąd bierze się znane ci ze szkoły podstawowej przyspieszenie $g \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Prawo powszechnego ciążenia

Prawo powszechnego ciążenia (Newton, 1687). Dwa ciała przyciągają się siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między ich środkami:

$$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$

Gdzie:

• $F$ — siła grawitacji (przyciągania) [N],
• $G$ — stała grawitacji, $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ (ta sama w całym Wszechświecie),
• $m_1, m_2$ — masy oddziałujących ciał [kg],
• $r$ — odległość między środkami ciał [m].

Dwie ważne obserwacje:

• Im większe masy, tym silniejsze przyciąganie (proporcjonalność prosta).
• Im większa odległość, tym przyciąganie słabsze — i to bardzo szybko, bo z kwadratem odległości. Podwojenie odległości osłabia siłę czterokrotnie ($2^2 = 4$), a potrojenie — dziewięciokrotnie ($3^2 = 9$).

Siła grawitacji jest wzajemna: Ziemia przyciąga jabłko dokładnie taką samą siłą, jaką jabłko przyciąga Ziemię (III zasada dynamiki!). Ruszy się jednak głównie jabłko — bo ma nieporównanie mniejszą masę, więc przy tej samej sile ma ogromne przyspieszenie ($a = F/m$).

Rys. 1. Prawo powszechnego ciążenia: siła przyciągania działa wzdłuż linii łączącej środki ciał i maleje z kwadratem odległości. Wykres $F(r)$ opada coraz łagodniej — to „prawo odwrotnych kwadratów".

Ciężar a masa — to nie to samo!

To jedno z najczęściej mylonych pojęć w fizyce.

Masa $m$ [kg] to ilość materii w ciele i miara jego bezwładności. Jest niezmienna — taka sama na Ziemi, na Księżycu i w kosmosie.

Ciężar $F_g$ [N] to siła, z jaką ciało jest przyciągane przez planetę (lub inne ciało niebieskie). Zależy od miejsca, bo zależy od grawitacji.

Ciężar liczymy prostym wzorem:

$$F_g = m \cdot g$$

Gdzie:

• $F_g$ — ciężar (siła grawitacji przy powierzchni) [N],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$].

Na Księżycu $g$ jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi, więc astronauta o tej samej masie waży tam 6 razy mniej — stąd słynne „skoki" astronautów. Jego masa się nie zmienia, zmienia się ciężar.

Rys. 2. Masa jest wszędzie taka sama, ale ciężar zależy od $g$. Na Księżycu ($g \approx 1{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$) ten sam człowiek waży sześć razy mniej niż na Ziemi.

Skąd bierze się g?

Przyspieszenie grawitacyjne $g$ nie jest „magiczną liczbą" — wynika z prawa ciążenia. Porównajmy dwa zapisy ciężaru dla ciała przy powierzchni planety o masie $M$ i promieniu $R$:

$$m \cdot g = G \cdot \frac{M \cdot m}{R^2}$$

Masa ciała $m$ skraca się po obu stronach, więc:

$$g = G \cdot \frac{M}{R^2}$$

Gdzie:

• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$],
• $G$ — stała grawitacji,
• $M$ — masa planety [kg],
• $R$ — promień planety [m].

To bardzo ważny wniosek: $g$ nie zależy od masy spadającego ciała! Zależy tylko od planety. Dlatego wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem — piórko i kula armatnia (jeśli pominiemy opór powietrza). Dla Ziemi:

$$g_{\text{Ziemia}} \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Spadek swobodny

Spadek swobodny to ruch ciała pod wpływem samej grawitacji, bez oporu powietrza. Jest to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem $g$.

Skoro to ruch jednostajnie przyspieszony (z $v_0 = 0$), stosują się do niego wzory kinematyki, w których $a = g$:

$$v = g \cdot t \qquad h = \frac{g \cdot t^2}{2}$$

Gdzie:

• $v$ — prędkość po czasie $t$ [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $h$ — wysokość, z której ciało spadło [m],
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$],
• $t$ — czas spadania [s].

W słynnym doświadczeniu astronauta na Księżycu upuścił jednocześnie młotek i piórko — spadły równocześnie, bo na Księżycu nie ma powietrza, które hamowałoby piórko. Potwierdziło to, że w próżni wszystkie ciała spadają jednakowo.

Przykłady z życia

• Prawo ciążenia w skali kosmicznej: orbity planet, pływy morskie (przyciąganie Księżyca), lot sond kosmicznych wykorzystujących „asystę grawitacyjną".
• Ciężar a masa: waga łazienkowa mierzy właściwie ciężar i przelicza go na masę zakładając ziemskie $g$; na innej planecie wskazałaby błędnie.
• Spadek swobodny: skoczek spadochronowy przed otwarciem czaszy (w przybliżeniu), kropla deszczu na początku spadania, przedmiot upuszczony ze stołu.

Zadanie 1 — ciężar ciała

Oblicz ciężar walizki o masie $m = 15\,\text{kg}$ na Ziemi ($g = 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$) i na Księżycu ($g_K = 1{,}6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).

Krok 1. Ciężar na Ziemi: $$F_g = m \cdot g = 15 \cdot 9{,}81 \approx 147\,\text{N}$$

Krok 2. Ciężar na Księżycu: $$F_{g,K} = m \cdot g_K = 15 \cdot 1{,}6 = 24\,\text{N}$$

Odpowiedź: Ta sama walizka waży $\approx 147\,\text{N}$ na Ziemi, ale tylko $24\,\text{N}$ na Księżycu — choć jej masa ($15\,\text{kg}$) nie zmienia się.

Zadanie 2 — spadek swobodny

Kamień spada swobodnie z wysokości $h = 20\,\text{m}$. Ile czasu leci i z jaką prędkością uderzy o ziemię? Przyjmij $g = 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Krok 1. Z wzoru $h = \tfrac{g t^2}{2}$ wyznaczamy czas: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,\text{s}$$

Krok 2. Prędkość końcowa z $v = g t$: $$v = 10 \cdot 2 = 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: Kamień leci $2\,\text{s}$ i uderza o ziemię z prędkością $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (czyli $72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$).

Interaktywna symulacja — prawo ciążenia

Zmieniaj masy dwóch ciał i odległość między nimi, a zobaczysz, jak zmienia się siła grawitacji. Zwróć uwagę, jak gwałtownie siła maleje przy oddalaniu ciał (prawo odwrotnych kwadratów):

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie masy z ciężarem. Masa [kg] jest niezmienna; ciężar [N] to siła i zależy od $g$. „Ile ważysz" w kilogramach to potocznie masa, nie ciężar.
2. „Cięższe ciała spadają szybciej." Nie — w próżni wszystkie spadają z tym samym $g$. W powietrzu różnicę robi tylko opór powietrza.
3. Zapominanie o kwadracie w prawie ciążenia. Siła maleje z $r^2$, nie z $r$. Dwukrotne oddalenie osłabia siłę czterokrotnie.
4. Traktowanie $g$ jako zależnego od masy ciała. $g = \tfrac{GM}{R^2}$ zależy od planety, a nie od masy spadającego przedmiotu.
5. Mierzenie $r$ od powierzchni. W prawie ciążenia $r$ to odległość między środkami ciał, a nie od powierzchni.
6. Zapominanie o wzajemności. Jabłko przyciąga Ziemię tak samo mocno, jak Ziemia jabłko — różni się tylko skutek (przyspieszenie), bo masy są różne.

Podsumowanie

• Prawo powszechnego ciążenia: $F = G\tfrac{m_1 m_2}{r^2}$ — wszystkie ciała z masą przyciągają się; siła rośnie z masami i maleje z kwadratem odległości.
• Masa [kg] jest niezmienna; ciężar $F_g = m g$ [N] to siła grawitacji i zależy od miejsca.
• Przyspieszenie grawitacyjne $g = G\tfrac{M}{R^2}$ zależy tylko od planety; na Ziemi $g \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ i jest jednakowe dla wszystkich ciał.
• Spadek swobodny to ruch jednostajnie przyspieszony: $v = g t$, $h = \tfrac{g t^2}{2}$.
• Siła grawitacji jest wzajemna (III zasada dynamiki), a jej skutek zależy od masy ciała.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Dynamika: zasady dynamiki Newtona — fundament, na którym opiera się pojęcie siły i ciężaru.
• Dynamika: siła dośrodkowa — jak grawitacja pełni rolę siły dośrodkowej na orbicie.
• Kinematyka: ruch prostoliniowy — spadek swobodny jako przykład ruchu jednostajnie przyspieszonego.