Kinematyka: ruch prostoliniowy

Wstęp — po co nam kinematyka?

Kiedy oglądasz zapis GPS z biegu, patrzysz na wykres prędkości samochodu albo śledzisz lot rakiety, korzystasz z kinematyki — działu fizyki, który opisuje ruch, nie pytając jeszcze o jego przyczyny. Nie interesuje nas tu, dlaczego ciało się porusza (tym zajmuje się dynamika), lecz jak się porusza: gdzie jest, jak szybko i jak zmienia się jego prędkość.

W tej lekcji zbudujemy precyzyjny język opisu ruchu po linii prostej. Zaczniemy od pytania, które w fizyce jest zawsze pierwsze: względem czego mierzymy ruch. Potem wprowadzimy wielkości wektorowe (położenie, przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie), a na końcu zapiszemy równania ruchu i nauczymy się czytać wykresy. To fundament całej mechaniki — i temat, który wraca na maturze w zadaniach obliczeniowych i przy interpretacji wykresów.

Układ odniesienia i względność ruchu

Zdanie „samochód jedzie z prędkością $30\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$" jest niepełne. Względem czego? Względem jezdni — tak. Ale względem pasażera siedzącego w środku samochód spoczywa. Ruch zawsze opisujemy względem wybranego ciała, które nazywamy układem odniesienia.

Definicja. Układ odniesienia to ciało (lub zbiór ciał) uznane umownie za nieruchome, względem którego opisujemy położenie i ruch innych ciał. Aby opis był ilościowy, wiążemy z nim oś liczbową (lub układ osi) oraz zegar do mierzenia czasu.

To znaczy, że ruch jest względny: to samo ciało może być w spoczynku w jednym układzie i w ruchu w innym. Pasażer pociągu spoczywa względem wagonu, ale porusza się względem peronu.

Rys. 1. Ten sam pasażer spoczywa względem wagonu, a jednocześnie porusza się względem peronu. Opis ruchu wymaga wybrania układu odniesienia oraz osi położenia $x$ z początkiem i zwrotem dodatnim.

W ruchu prostoliniowym wystarczy jedna oś — zwykle oznaczamy ją $x$. Wybieramy na niej początek (punkt $x = 0$) oraz zwrot dodatni. Położenie ciała podajemy wtedy jedną liczbą ze znakiem, np. $x = -4\,\text{m}$ oznacza punkt oddalony o $4$ metry w stronę ujemną.

Położenie, tor, droga i przemieszczenie

Te cztery pojęcia bywają mylone, a w fizyce znaczą różne rzeczy.

• Położenie $x$ — mówi, gdzie jest ciało na osi (liczba ze znakiem, jednostka: metr [m]).
• Tor — linia, po której porusza się ciało (dla ruchu prostoliniowego jest to odcinek prostej).
• Droga $s$ — długość przebytego toru; zawsze dodatnia, nigdy nie maleje (jednostka: [m]).
• Przemieszczenie $\Delta x$ — wektor od położenia początkowego do końcowego. W ruchu po prostej zapisujemy je jedną liczbą ze znakiem:

$$\Delta x = x_k - x_p$$

Gdzie:

• $\Delta x$ — przemieszczenie [m] (może być dodatnie, ujemne lub zerowe),
• $x_k$ — położenie końcowe [m],
• $x_p$ — położenie początkowe [m].

Kluczowa różnica. Droga to „ile kilometrów pokazał licznik", a przemieszczenie to „jak daleko i w którą stronę jesteś od startu". Jeśli przejdziesz $10\,\text{m}$ w prawo, a potem $10\,\text{m}$ w lewo, to droga wynosi $s = 20\,\text{m}$, ale przemieszczenie $\Delta x = 0$ — wróciłeś do punktu wyjścia.

Rys. 2. Droga $s$ to długość całego przebytego toru (tu: tam i z powrotem). Przemieszczenie $\Delta x$ to wektor łączący początek z końcem — jego wartość może być mniejsza od drogi.

Prędkość — wielkość wektorowa

Prędkość mówi, jak szybko i w którą stronę zmienia się położenie.

Definicja. Prędkość średnia to iloraz przemieszczenia i czasu, w którym ono nastąpiło:

$$\vec{v}_{\text{śr}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\vec{v}_{\text{śr}}$ — prędkość średnia [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$] (wektor — ma wartość, kierunek i zwrot),
• $\Delta x$ — przemieszczenie [m],
• $\Delta t$ — czas trwania ruchu [s].

Znak prędkości w ruchu prostoliniowym mówi o zwrocie: $v > 0$ oznacza ruch w stronę dodatnią osi, $v < 0$ — w stronę ujemną.

Prędkość średnia a średnia prędkość „z licznika". Uwaga: prędkość średnia liczona z przemieszczenia różni się od średniej szybkości liczonej z drogi. Gdy wracasz do punktu startu, $\Delta x = 0$, więc $\vec{v}_{\text{śr}} = 0$, choć licznik (droga) pokazał sporo kilometrów.

Prędkość chwilowa $\vec{v}$ to prędkość w danej chwili — to ją pokazuje prędkościomierz. Otrzymujemy ją, biorąc prędkość średnią dla coraz krótszych odcinków czasu $\Delta t$. W ruchu jednostajnym prędkość chwilowa i średnia są sobie równe.

Przelicznik jednostek prędkości. $$1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$$ Z $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ na $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — mnożymy przez $3{,}6$; w drugą stronę — dzielimy przez $3{,}6$.

Ruch jednostajny prostoliniowy

Definicja. Ruch jednostajny prostoliniowy to ruch po linii prostej ze stałą prędkością ($\vec{v} = \text{const.}$). W równych odstępach czasu ciało pokonuje równe odcinki drogi.

Skoro prędkość jest stała, położenie zmienia się liniowo w czasie. Równanie ruchu (zależność położenia od czasu) ma postać:

$$x(t) = x_0 + v \cdot t$$

Gdzie:

• $x(t)$ — położenie w chwili $t$ [m],
• $x_0$ — położenie początkowe (dla $t = 0$) [m],
• $v$ — stała prędkość [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $t$ — czas [s].

Jeśli ciało rusza z początku osi ($x_0 = 0$) i porusza się w stronę dodatnią, przebyta droga to po prostu:

$$s = v \cdot t$$

Wykresy ruchu jednostajnego

Wykresy to najważniejsze narzędzie kinematyki — pozwalają „zobaczyć" ruch.

• Wykres położenia od czasu $x(t)$ to linia prosta. Jej nachylenie (stromość) odpowiada prędkości: im bardziej stroma, tym większa prędkość. Prosta opadająca oznacza ruch w stronę ujemną ($v < 0$).
• Wykres prędkości od czasu $v(t)$ to linia pozioma — prędkość się nie zmienia.

Rys. 3. Ruch jednostajny: położenie rośnie liniowo (nachylenie prostej = prędkość), a prędkość jest stała. Pole pod wykresem $v(t)$ (zaznaczony prostokąt) równa się przebytej drodze $s = v \cdot t$.

Przyspieszenie

W przyrodzie prędkość rzadko bywa stała. Do opisu jej zmian potrzebujemy przyspieszenia.

Definicja. Przyspieszenie to wielkość wektorowa mówiąca, jak szybko zmienia się prędkość:

$$\vec{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_k - v_p}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\vec{a}$ — przyspieszenie [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$] (metr na sekundę do kwadratu),
• $\Delta v = v_k - v_p$ — zmiana prędkości [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $\Delta t$ — czas, w którym zmiana nastąpiła [s].

Grecka litera $\Delta$ (delta) oznacza zmianę wielkości. Przyspieszenie $a = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ znaczy, że w każdej sekundzie prędkość rośnie o $3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Znak przyspieszenia. Gdy $\vec{a}$ ma ten sam zwrot co $\vec{v}$ — ciało przyspiesza. Gdy przeciwny — ciało hamuje (ruch opóźniony). Ujemne $a$ nie zawsze oznacza hamowanie: jeśli ciało porusza się w stronę ujemną ($v < 0$) i przyspiesza, to $a$ też jest ujemne.

Ruch jednostajnie zmienny

Definicja. Ruch jednostajnie zmienny to ruch prostoliniowy ze stałym przyspieszeniem ($\vec{a} = \text{const.}$). Prędkość rośnie (ruch przyspieszony) lub maleje (ruch opóźniony) o tę samą wartość w równych odstępach czasu.

Ten ruch opisują trzy równania. Zależność prędkości od czasu:

$$v(t) = v_0 + a \cdot t$$

Zależność drogi (przebytej od startu) od czasu:

$$s(t) = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$$

Zależność położenia od czasu (równanie ruchu):

$$x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$$

Gdzie:

• $v_0$ — prędkość początkowa (dla $t = 0$) [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $a$ — stałe przyspieszenie [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$],
• $x_0$ — położenie początkowe [m],
• pozostałe oznaczenia jak wyżej.

Przydaje się też wzór wiążący prędkość z drogą (bez czasu), który wyprowadza się z powyższych:

$$v^2 = v_0^2 + 2 a s$$

Wykresy ruchu jednostajnie zmiennego

• Wykres $v(t)$ to linia prosta: wznosząca się dla ruchu przyspieszonego, opadająca dla opóźnionego. Jej nachylenie równa się przyspieszeniu $a$.
• Wykres $x(t)$ (lub $s(t)$) to fragment paraboli — krzywa, która dla ruchu przyspieszonego staje się coraz bardziej stroma.

Rys. 4. Ruch jednostajnie zmienny: prędkość rośnie liniowo (nachylenie = przyspieszenie $a$), a droga narasta jak parabola. Pole trapezu pod wykresem $v(t)$ znów równa się przebytej drodze.

Złota zasada wykresów.

• Nachylenie wykresu $x(t)$ = prędkość $v$; nachylenie wykresu $v(t)$ = przyspieszenie $a$.
• Pole pod wykresem $v(t)$ = przebyta droga $s$; pole pod wykresem $a(t)$ = zmiana prędkości $\Delta v$.

Spadek swobodny — najważniejszy przykład

Spadek swobodny to ruch ciała pod wpływem samej grawitacji (pomijamy opór powietrza). Jest to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem ziemskim:

$$g \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem, niezależnie od masy — piórko i kamień w rurze próżniowej spadają jednakowo. W powietrzu piórko opada wolniej tylko z powodu oporu.

Przykłady z życia

• Ruch jednostajny: schody ruchome, taśmociąg na lotnisku, statek na autopilocie na spokojnym morzu, światło w próżni.
• Ruch jednostajnie przyspieszony: startujący samolot na pasie, spadająca jabłko, sanki zjeżdżające z górki.
• Ruch jednostajnie opóźniony: samochód hamujący przed światłami, piłka wyrzucona pionowo w górę (w drodze do góry), rower zwalniający na płaskim.

Zadanie 1 — ruch jednostajnie przyspieszony

Samochód rusza z miejsca ze stałym przyspieszeniem $a = 2{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Jaką prędkość osiągnie po $8\,\text{s}$ i jaką drogę wtedy przejedzie?

Krok 1. Dane i szukane: $$v_0 = 0, \quad a = 2{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}, \quad t = 8\,\text{s}, \quad v = ?, \quad s = ?$$

Krok 2. Prędkość ze wzoru $v = v_0 + a t$: $$v = 0 + 2{,}5 \cdot 8 = 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \;(= 72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}})$$

Krok 3. Droga ze wzoru $s = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2}$: $$s = 0 + \frac{2{,}5 \cdot 8^2}{2} = \frac{2{,}5 \cdot 64}{2} = 80\,\text{m}$$

Odpowiedź: Po $8$ sekundach samochód jedzie $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i przejechał $80\,\text{m}$.

Zadanie 2 — hamowanie

Rowerzysta jadący $12\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ hamuje ze stałym opóźnieniem i zatrzymuje się po $4\,\text{s}$. Oblicz przyspieszenie i drogę hamowania.

Krok 1. Dane i szukane: $$v_0 = 12\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \quad v_k = 0, \quad t = 4\,\text{s}, \quad a = ?, \quad s = ?$$

Krok 2. Przyspieszenie: $$a = \frac{v_k - v_0}{t} = \frac{0 - 12}{4} = -3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Znak minus potwierdza, że to hamowanie (przyspieszenie przeciwne do prędkości).

Krok 3. Drogę wygodnie policzyć z pola pod wykresem $v(t)$ — to trójkąt o podstawie $t$ i wysokości $v_0$: $$s = \frac{v_0 \cdot t}{2} = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24\,\text{m}$$

Odpowiedź: Opóźnienie wynosi $3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, a droga hamowania $24\,\text{m}$.

Interaktywny wykres ruchu

Ustaw prędkość początkową i przyspieszenie, uruchom symulację i obserwuj, jak ciało porusza się po osi, a wykresy $x(t)$ i $v(t)$ rysują się na żywo. Sprawdź, jak nachylenie prostej $v(t)$ odpowiada przyspieszeniu, a krzywizna $x(t)$ — przyspieszaniu ruchu:

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie drogi z przemieszczeniem. Droga to długość toru (zawsze $\geq 0$), przemieszczenie to wektor od startu do mety. Przy ruchu tam i z powrotem różnią się znacznie.
2. Mylenie prędkości z przyspieszeniem. Prędkość mówi, jak szybko zmienia się położenie; przyspieszenie — jak szybko zmienia się prędkość. Można mieć $v = 0$ i $a \neq 0$ (moment startu lub najwyższy punkt rzutu w górę).
3. „Ujemne przyspieszenie zawsze oznacza hamowanie." Nie — liczy się zwrot $a$ względem $v$. Jeśli $v < 0$ i $a < 0$, ciało przyspiesza.
4. Zła jednostka przyspieszenia. Przyspieszenie ma jednostkę $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, a nie $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
5. Mylenie nachylenia z polem na wykresie. Na wykresie $v(t)$ nachylenie to przyspieszenie, a pole pod wykresem to droga — to dwie różne rzeczy.
6. Traktowanie wykresu $x(t)$ jak „kształtu trasy". Wykres pokazuje zależność położenia od czasu, a nie wygląd toru. Prosta na $x(t)$ znaczy stałą prędkość, a nie „prostą drogę".

Podsumowanie

• Ruch opisujemy zawsze względem układu odniesienia — ruch jest względny.
• Droga $s$ to długość toru (skalar $\geq 0$); przemieszczenie $\Delta x = x_k - x_p$ to wektor.
• Prędkość $\vec{v} = \tfrac{\Delta x}{\Delta t}$ i przyspieszenie $\vec{a} = \tfrac{\Delta v}{\Delta t}$ to wielkości wektorowe; ich znak w ruchu prostoliniowym oznacza zwrot.
• Ruch jednostajny: $x(t) = x_0 + v t$, $v = \text{const.}$; wykres $x(t)$ to prosta, $v(t)$ to linia pozioma.
• Ruch jednostajnie zmienny: $v(t) = v_0 + a t$, $s(t) = v_0 t + \tfrac{a t^2}{2}$, $a = \text{const.}$; wykres $v(t)$ to prosta, $x(t)$ to parabola.
• Nachylenie wykresu = tempo zmian (prędkość lub przyspieszenie); pole pod wykresem $v(t)$ = droga.
• Spadek swobodny to ruch jednostajnie przyspieszony z $g \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, jednakowym dla wszystkich ciał.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Kinematyka: ruch po okręgu — gdy tor nie jest prosty, lecz kołowy.
• Kinematyka: rzuty — ruch w dwóch wymiarach jako złożenie ruchów prostych.
• Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny — te same pojęcia na poziomie klasy 8.