Energia i pęd

Wstęp — dwie wielkie zasady zachowania

W fizyce niektóre wielkości mają wyjątkową właściwość: w izolowanym układzie nie znikają i nie powstają z niczego — mogą się jedynie zamieniać albo przekazywać między ciałami. Takie wielkości nazywamy zachowanymi, a reguły ich opisujące — zasadami zachowania.

W mechanice najważniejsze są dwie: zasada zachowania energii i zasada zachowania pędu. To potężne narzędzia — pozwalają przewidzieć wynik zderzenia albo prędkość ciała, nawet gdy nie znamy szczegółów działających sił. W tej lekcji poznasz obie: najpierw energię (i związane z nią pojęcia pracy i mocy), potem pęd. Oba tematy wracają na maturze w zadaniach o zderzeniach, kolejkach górskich, odrzucie i rakietach.

Praca mechaniczna

Pracę wykonuje siła, gdy przesuwa ciało wzdłuż swojego kierunku. Gdy stała siła $\vec{F}$ działa zgodnie z kierunkiem ruchu na drodze $s$:

$$W = F \cdot s$$

Gdzie:

• $W$ — praca [$\text{J}$] (dżul, przy czym $1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}$),
• $F$ — wartość siły działającej wzdłuż kierunku ruchu [N],
• $s$ — droga przebyta przez ciało [m].

Jeśli siła jest nachylona pod kątem $\alpha$ do kierunku ruchu, pracę wykonuje tylko jej składowa wzdłuż drogi:

$$W = F \cdot s \cdot \cos\alpha$$

Uwaga. Gdy siła jest prostopadła do ruchu ($\alpha = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$), praca wynosi zero. Dlatego siła dośrodkowa na orbicie ani siła nacisku podłogi na idącego człowieka nie wykonują pracy — nie przesuwają ciała wzdłuż swojego kierunku.

Gdy siła się zmienia, praca równa się polu pod wykresem $F(s)$. To ważna interpretacja graficzna, którą wykorzystamy przy sprężynie.

Rys. 1. Praca to pole pod wykresem $F(s)$: dla stałej siły — prostokąt, dla siły rosnącej (np. sprężystej) — trójkąt. Wykonana praca zamienia się w energię ciała.

Moc

Moc mówi, jak szybko wykonywana jest praca:

$$P = \frac{W}{t}$$

Gdzie:

• $P$ — moc [$\text{W}$] (wat, przy czym $1\,\text{W} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$),
• $W$ — wykonana praca [J],
• $t$ — czas wykonywania pracy [s].

Ta sama praca wykonana szybciej oznacza większą moc. Winda wciągająca ludzi na 10. piętro w 20 s ma większą moc niż taka, która robi to w 60 s, choć wykonuje tę samą pracę.

Energia mechaniczna

Energia to zdolność ciała do wykonania pracy. W mechanice mamy dwa jej rodzaje.

Energia kinetyczna — energia ruchu:

$$E_k = \frac{m v^2}{2}$$

Gdzie:

• $E_k$ — energia kinetyczna [J],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $v$ — wartość prędkości [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$].

Energia potencjalna grawitacji — energia związana z wysokością:

$$E_p = m \cdot g \cdot h$$

Gdzie:

• $E_p$ — energia potencjalna [J],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne ($g \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$),
• $h$ — wysokość nad poziomem odniesienia [m].

Praca i energia są ściśle powiązane: praca to zmiana energii. Gdy wykonujemy pracę nad ciałem, zwiększamy jego energię; gdy ciało wykonuje pracę, jego energia maleje. Zapisujemy to jako twierdzenie o pracy i energii:

$$W = \Delta E_k = E_{k,\text{koniec}} - E_{k,\text{początek}}$$

Zasada zachowania energii mechanicznej

Energia mechaniczna to suma energii kinetycznej i potencjalnej:

$$E_c = E_k + E_p$$

Jeśli na ciało nie działają siły oporu (tarcie, opór powietrza), energia mechaniczna jest stała:

$$E_c = E_k + E_p = \text{const.}$$

Energia zamienia się z jednej formy w drugą, ale ich suma się nie zmienia. Spadająca piłka „wymienia" energię potencjalną na kinetyczną; wznosząca się — odwrotnie.

Rys. 2. Na torze bez tarcia energia potencjalna zamienia się w kinetyczną i odwrotnie, ale suma $E_c = E_k + E_p$ pozostaje stała.

Pęd

Pęd to „ilość ruchu" ciała — wielkość wektorowa łącząca masę i prędkość:

$$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$$

Gdzie:

• $\vec{p}$ — pęd [$\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$], wektor o kierunku i zwrocie prędkości,
• $m$ — masa ciała [kg],
• $v$ — prędkość ciała [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$].

Ciężarówka i rower mogą jechać z tą samą prędkością, ale ciężarówka ma dużo większy pęd (większa masa) — dlatego trudniej ją zatrzymać.

Newton pierwotnie sformułował drugą zasadę dynamiki właśnie przez pęd: siła wypadkowa równa się szybkości zmiany pędu:

$$\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\vec{F}$ — siła wypadkowa [N],
• $\Delta \vec{p}$ — zmiana pędu [$\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$],
• $\Delta t$ — czas działania siły [s].

Dla stałej masy wzór ten sprowadza się do znanego $\vec{F} = m\vec{a}$ (bo $\Delta p = m\,\Delta v$, a $\tfrac{\Delta v}{\Delta t} = a$). Iloczyn $\vec{F}\cdot\Delta t$ nazywamy popędem siły — to on zmienia pęd. Dlatego dłuższy czas hamowania (poduszki powietrzne, ugięte nogi przy skoku) oznacza mniejszą siłę przy tej samej zmianie pędu.

Rys. 3. Pęd $\vec{p} = m\vec{v}$ jest wektorem. Przy odrzucie sumaryczny pęd armaty i kuli pozostaje zerowy — pędy są równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane.

Zasada zachowania pędu

W układzie izolowanym (na który nie działają siły zewnętrzne, a jedynie siły wzajemne między ciałami) całkowity pęd się nie zmienia:

$$\vec{p}_{\text{przed}} = \vec{p}_{\text{po}}$$

To wynika wprost z trzeciej zasady dynamiki: ciała działają na siebie siłami równymi co do wartości i przeciwnie skierowanymi, więc zmiany ich pędów znoszą się.

Zasada zachowania pędu tłumaczy odrzut: gdy armata wystrzeliwuje kulę do przodu, sama cofa się do tyłu, bo przed strzałem całkowity pęd był zerowy i po strzale też musi być zerowy. Tak samo działa rakieta — wyrzuca gazy w dół, więc sama leci w górę.

Zderzenia

Zasadę zachowania pędu stosujemy najczęściej do zderzeń. Rozróżniamy dwa skrajne przypadki:

W każdym zderzeniu pęd całkowity jest zachowany. Różnica dotyczy energii kinetycznej: w zderzeniu sprężystym jest ona zachowana, a w niesprężystym część zamienia się w inne formy (ciepło, dźwięk, trwałe odkształcenie). W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała po zderzeniu poruszają się razem.

Zadanie 1 — energia kinetyczna i praca hamowania

Samochód o masie $m = 1000\,\text{kg}$ jedzie z prędkością $v = 20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Jaką pracę muszą wykonać hamulce, aby go zatrzymać?

Krok 1. Praca hamulców jest równa energii kinetycznej, którą trzeba „odebrać" (twierdzenie o pracy i energii): $$W = \Delta E_k = E_k = \frac{m v^2}{2}$$

Krok 2. Podstawiamy dane: $$W = \frac{1000 \cdot 20^2}{2} = \frac{1000 \cdot 400}{2} = 200\,000\,\text{J} = 200\,\text{kJ}$$

Odpowiedź: Hamulce muszą wykonać pracę $200\,\text{kJ}$. Zauważ, że gdyby prędkość była dwa razy większa, energia (a więc i droga hamowania) byłaby czterokrotnie większa — bo $E_k \sim v^2$.

Zadanie 2 — zderzenie niesprężyste (zachowanie pędu)

Wagonik o masie $m_1 = 2\,\text{kg}$ jedzie z prędkością $v_1 = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i zderza się z nieruchomym wagonikiem o masie $m_2 = 1\,\text{kg}$. Po zderzeniu łączą się i jadą razem. Jaka jest ich wspólna prędkość?

Krok 1. Pęd przed zderzeniem (drugi wagonik stoi, więc $v_2 = 0$): $$p_{\text{przed}} = m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = 2 \cdot 3 = 6\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 2. Po zderzeniu ciała mają wspólną prędkość $u$ i masę $m_1 + m_2$: $$p_{\text{po}} = (m_1 + m_2)\,u = 3u$$

Krok 3. Z zasady zachowania pędu $p_{\text{przed}} = p_{\text{po}}$: $$6 = 3u \quad\Rightarrow\quad u = 2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: Połączone wagoniki jadą z prędkością $2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. To zderzenie niesprężyste — sprawdź, że energia kinetyczna po zderzeniu ($\tfrac{3\cdot 2^2}{2} = 6\,\text{J}$) jest mniejsza niż przed ($\tfrac{2\cdot 3^2}{2} = 9\,\text{J}$); brakujące $3\,\text{J}$ zamieniło się w ciepło i odkształcenie.

Interaktywna symulacja — zderzenia i zachowanie pędu

Ustaw masy i prędkości wózków, wybierz rodzaj zderzenia (sprężyste lub niesprężyste) i naciśnij „Start". Obserwuj, że całkowity pęd jest zawsze zachowany, a energia kinetyczna — tylko w zderzeniu sprężystym:

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie energii z pędem. Energia $E_k = \tfrac{mv^2}{2}$ to skalar (liczba) i zależy od $v^2$; pęd $\vec{p} = m\vec{v}$ to wektor i zależy od $v$ liniowo. To dwie różne wielkości.
2. „W każdym zderzeniu zachowana jest energia kinetyczna." Nie — zachowany jest zawsze pęd, ale energia kinetyczna tylko w zderzeniach sprężystych.
3. Zapominanie, że pęd jest wektorem. Przy zderzeniach czołowych pędy o przeciwnych zwrotach mają przeciwne znaki i mogą się odejmować (a nawet dawać zero).
4. Traktowanie trzymania ciężaru jako pracy. Gdy trzymasz torbę nieruchomo, droga $s = 0$, więc praca mechaniczna $W = 0$ — mimo że czujesz zmęczenie (to praca mięśni, nie mechaniczna praca nad ciałem).
5. Pominięcie kwadratu prędkości w energii. Podwojenie prędkości zwiększa $E_k$ czterokrotnie — dlatego droga hamowania rośnie tak gwałtownie z prędkością.
6. Mylenie mocy z energią. Moc to tempo wykonywania pracy ($P = \tfrac{W}{t}$), a nie ilość energii; dwie maszyny mogą wykonać tę samą pracę, mając różną moc.

Podsumowanie

• Praca $W = F\cdot s$ (dla siły wzdłuż ruchu); przy sile nachylonej $W = F s \cos\alpha$; praca to pole pod wykresem $F(s)$.
• Moc $P = \tfrac{W}{t}$ mówi, jak szybko wykonywana jest praca [W].
• Energia kinetyczna $E_k = \tfrac{mv^2}{2}$, potencjalna $E_p = mgh$; praca to zmiana energii.
• Zasada zachowania energii mechanicznej: bez oporów $E_c = E_k + E_p = \text{const.}$
• Pęd $\vec{p} = m\vec{v}$ (wektor); druga zasada dynamiki: $\vec{F} = \tfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$.
• Zasada zachowania pędu: w układzie izolowanym $\vec{p}_{\text{przed}} = \vec{p}_{\text{po}}$; wyjaśnia odrzut i napęd rakiety.
• W zderzeniach pęd jest zawsze zachowany; energia kinetyczna — tylko w sprężystych.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Dynamika: zasady dynamiki Newtona — z trzeciej zasady wynika zasada zachowania pędu.
• Dynamika: siła dośrodkowa — dlaczego siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.
• Grawitacja i astronomia — energia i pęd w ruchu ciał niebieskich.