Pęd i jego zachowanie

Wstęp — co jest groźniejsze: rower czy ciężarówka?

Wyobraź sobie, że jedzie na ciebie rower z prędkością $5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Nieprzyjemne, ale przeżywalne. A teraz wyobraź sobie, że z tą samą prędkością jedzie na ciebie ciężarówka. Ta sama prędkość — a jednak skutki byłyby zupełnie inne!

Różnica jest oczywista: ciężarówka ma znacznie większą masę. Fizyka ma jedną wielkość, która łączy jednocześnie masę i prędkość ciała. To pęd.

W tej lekcji dowiesz się:

• czym jest pęd i jak go obliczamy ze wzoru $p = m \cdot v$,
• że pęd jest wielkością wektorową — ma kierunek i zwrot,
• na czym polega zasada zachowania pędu,
• jak dzięki niej wyjaśnić zderzenia, odrzut armaty i start rakiety.

Pęd — masa razy prędkość

Definicja. Pęd ciała to wielkość opisująca jego ruch, równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości.

$$p = m \cdot v$$

Gdzie:

• $p$ — pęd ciała $\left[\tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}\right]$ (kilogram razy metr na sekundę),
• $m$ — masa ciała [kg] (kilogram),
• $v$ — prędkość ciała $\left[\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]$ (metr na sekundę).

Pęd rośnie, gdy rośnie masa albo gdy rośnie prędkość. Dlatego:

• ciężarówka i rower o tej samej prędkości mają różny pęd (bo różne masy),
• ten sam samochód jadący szybko ma większy pęd niż wtedy, gdy jedzie wolno.

Rys. 1. Pęd zależy zarówno od masy, jak i od prędkości. Im większa masa lub prędkość, tym większy pęd — i tym trudniej ciało zatrzymać.

Pęd ma kierunek i zwrot

Pęd jest wielkością wektorową — tak jak prędkość i siła. To znaczy, że ma nie tylko wartość, ale też kierunek i zwrot: pęd zawsze jest skierowany tam, dokąd porusza się ciało. Zapisujemy to strzałką nad symbolem: $\vec{p}$.

Ma to ogromne znaczenie, gdy dwa ciała poruszają się naprzeciw siebie — ich pędy mają przeciwne zwroty i mogą się częściowo znosić.

Rys. 2. Pęd jest wektorem — zawsze skierowany zgodnie z ruchem ciała. Dwa ciała jadące ku sobie mają pędy o przeciwnych zwrotach.

Zasada zachowania pędu

Najciekawsze rzeczy dzieją się, gdy ciała na siebie oddziałują — na przykład zderzają się albo odpychają. Wtedy działa jedno z najważniejszych praw fizyki.

Zasada zachowania pędu. W układzie izolowanym (czyli takim, na który nie działają siły zewnętrzne albo się one równoważą) całkowity pęd wszystkich ciał nie zmienia się — pozostaje stały.

To znaczy, że suma pędów przed zdarzeniem jest równa sumie pędów po zdarzeniu:

$$p_{\text{przed}} = p_{\text{po}}$$

Dla dwóch ciał, które na siebie oddziałują:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

Gdzie $v_1, v_2$ to prędkości przed, a $v_1', v_2'$ (czytamy: „v jeden prim", „v dwa prim") to prędkości po zdarzeniu. Pęd może „przechodzić" z jednego ciała na drugie, ale ich suma się nie zmienia.

Rys. 3. Podczas zderzenia pęd przechodzi z jednego wózka na drugi, ale całkowity pęd układu się nie zmienia.

Odrzut — pęd „z niczego"?

Zasada zachowania pędu wyjaśnia zjawisko odrzutu. Wyobraź sobie, że stoisz na deskorolce i rzucasz do przodu ciężką piłkę. Co się dzieje? Ty odjeżdżasz do tyłu!

Na początku wszystko stało — całkowity pęd wynosił zero. Gdy piłka poleciała do przodu (dodatni pęd), ty musiałeś pojechać do tyłu z pędem o tej samej wartości, ale przeciwnym zwrocie — żeby suma dalej wynosiła zero:

$$0 = p_{\text{piłka}} + p_{\text{ty}} \quad \Rightarrow \quad p_{\text{ty}} = -\,p_{\text{piłka}}$$

Tak samo działa armata (odskakuje przy wystrzale) oraz rakieta: rakieta wyrzuca w dół z ogromną prędkością gorące gazy, a sama w reakcji jest wypychana do góry. Rakieta leci w kosmos, bo „odpycha się" od wyrzucanych spalin — a nie od powietrza!

Rys. 4. Odrzut: gdy jedno ciało zyskuje pęd w jedną stronę, drugie zyskuje pęd o przeciwnym zwrocie. Suma pędów pozostaje taka sama jak na początku.

Przykłady z życia

• Bilard — uderzona biała bila zatrzymuje się, a trafiona bila rusza: pęd został jej przekazany.
• Strzelba i armata — „kopią" w ramię lub cofają się, bo pocisk wylatuje z dużym pędem do przodu.
• Rakiety i silniki odrzutowe — poruszają się dzięki wyrzucaniu gazów do tyłu.
• Skok z łódki na pomost — łódka odpływa do tyłu, gdy odbijasz się do przodu.
• Kraken zderzaków w samochodzikach w wesołym miasteczku — po uderzeniu oba pojazdy zmieniają prędkości zgodnie z zachowaniem pędu.

Zadanie krok po kroku

Wózek o masie $2\,\text{kg}$ jedzie z prędkością $3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i zderza się z nieruchomym wózkiem o masie $4\,\text{kg}$. Po zderzeniu sklejają się i jadą razem. Jaka jest ich wspólna prędkość?

Krok 1. Wypisujemy dane: $$m_1 = 2\,\text{kg}, \quad v_1 = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \quad m_2 = 4\,\text{kg}, \quad v_2 = 0, \quad v' = ?$$

Krok 2. Obliczamy całkowity pęd przed zderzeniem: $$p_{\text{przed}} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 0 = 6\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 3. Po zderzeniu wózki jadą razem, więc mają wspólną masę $m_1 + m_2$ i wspólną prędkość $v'$. Z zasady zachowania pędu: $$p_{\text{po}} = (m_1 + m_2)\cdot v' = p_{\text{przed}}$$ $$(2 + 4)\cdot v' = 6 \quad \Rightarrow \quad 6 \cdot v' = 6$$

Krok 4. Obliczamy wspólną prędkość: $$v' = \frac{6}{6} = 1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: Sklejone wózki jadą razem z prędkością $1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Sprawdź się: dlaczego po zderzeniu prędkość jest mniejsza niż początkowa? (Bo ten sam pęd rozkłada się teraz na większą masę — 6 kg zamiast 2 kg.)

Zobacz zderzenie w symulacji

Ustaw masy i prędkości dwóch wózków, uruchom zderzenie i obserwuj, jak zmieniają się ich prędkości. Zauważ, że całkowity pęd (pokazany na dole) pozostaje taki sam przed i po zderzeniu:

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie pędu z energią. Pęd $p = m\cdot v$ i energia kinetyczna to różne wielkości i mają różne jednostki. Pęd jest wektorem (ma zwrot), energia — nie.
2. „Pęd zależy tylko od prędkości." Nie — zależy też od masy. Wolno jadąca ciężarówka może mieć większy pęd niż szybki rower.
3. Ignorowanie zwrotu pędu. Gdy ciała jadą ku sobie, ich pędy mają przeciwne zwroty — przy dodawaniu jeden liczymy jako dodatni, drugi jako ujemny.
4. „W odrzucie pęd bierze się znikąd." Nie — na początku pęd wynosił zero i po odrzucie suma pędów też wynosi zero (pędy mają przeciwne zwroty i się znoszą).
5. Zła jednostka. Jednostką pędu jest $\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$, a nie niuton ani dżul.

Podsumowanie

• Pęd łączy masę i prędkość ciała: $p = m \cdot v$, jednostka $\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}$.
• Pęd jest wielkością wektorową — ma kierunek i zwrot zgodny z ruchem ciała.
• Zasada zachowania pędu: w układzie izolowanym całkowity pęd się nie zmienia — $p_{\text{przed}} = p_{\text{po}}$.
• Zasada ta wyjaśnia zderzenia (pęd przechodzi z ciała na ciało) oraz odrzut (armata, rakieta, skok z łódki).
• Im większy pęd ma ciało, tym trudniej je zatrzymać — dlatego rozpędzona ciężarówka jest groźniejsza niż rower.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Siła bezwładności — dlaczego ciała „opierają się" zmianie ruchu.
• Praca i moc — jak siła działająca na drodze zmienia energię ciała.