Drgania harmoniczne

Wstęp — ruch, który się powtarza

Huśtawka, struna gitary, ciężarek na sprężynie, wahadło zegara, a nawet drgania cząsteczek w ciele stałym — wszystkie wykonują ruch drgający: powtarzają się w regularnych odstępach czasu wokół pewnego położenia. To jeden z najczęstszych ruchów w przyrodzie i podstawa zrozumienia fal, dźwięku i wielu zjawisk fizycznych.

W tej lekcji poznasz najprostszy i najważniejszy rodzaj drgań — drgania harmoniczne — nauczysz się je opisywać (amplituda, okres, częstotliwość), zrozumiesz, dlaczego ciało drga (siła sprężystości) i skąd bierze się energia w drganiach, a na koniec poznasz zjawisko rezonansu, które potrafi zarówno pomóc, jak i zniszczyć. To temat maturalny łączący dynamikę z zasadą zachowania energii.

Wielkości opisujące drgania

Ruch drgający to ruch okresowy wokół położenia równowagi — punktu, w którym ciało spoczywałoby, gdyby nie zostało wytrącone. Opisujemy go kilkoma wielkościami:

• Wychylenie $x$ — chwilowe odległość ciała od położenia równowagi [m].
• Amplituda $A$ — maksymalne wychylenie [m].
• Okres $T$ — czas jednego pełnego drgania [s].
• Częstotliwość $f$ — liczba drgań na sekundę [$\text{Hz}$], powiązana z okresem:

$$f = \frac{1}{T}$$

Gdzie:

• $f$ — częstotliwość [Hz] ($1\,\text{Hz} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$),
• $T$ — okres [s].

W drganiach harmonicznych wychylenie zmienia się w czasie jak funkcja sinus — dlatego wykres $x(t)$ ma kształt gładkiej sinusoidy.

Rys. 1. Wykres $x(t)$ drgań harmonicznych to sinusoida. Amplituda $A$ to maksymalne wychylenie, a okres $T$ — czas jednego pełnego drgania.

Dlaczego ciało drga? Siła sprężystości

Aby powstały drgania, potrzebna jest siła, która zawsze zawraca ciało do położenia równowagi. Taką siłą jest siła sprężystości sprężyny, opisana prawem Hooke'a:

$$F = -k \cdot x$$

Gdzie:

• $F$ — siła sprężystości [N],
• $k$ — współczynnik sprężystości (sztywność sprężyny) [$\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$],
• $x$ — wychylenie z położenia równowagi [m],
• znak minus oznacza, że siła jest zawsze skierowana przeciwnie do wychylenia — ku położeniu równowagi (dlatego nazywamy ją siłą zwrotną).

Im dalej wychylimy ciało, tym większa siła je zawraca. To właśnie ta zależność — siła proporcjonalna do wychylenia i skierowana ku środkowi — sprawia, że ruch jest harmoniczny.

Okres drgań ciężarka o masie $m$ na sprężynie o sztywności $k$ wynosi:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Gdzie:

• $T$ — okres drgań [s],
• $m$ — masa ciężarka [kg],
• $k$ — współczynnik sprężystości [$\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$].

Widać, że większa masa wydłuża okres (ciało drga wolniej), a sztywniejsza sprężyna (większe $k$) go skraca. Co ważne — okres nie zależy od amplitudy.

Wahadło matematyczne

Drugim klasycznym przykładem jest wahadło — ciężarek na nici o długości $l$. Dla małych wychyleń jego okres wynosi:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Gdzie:

• $T$ — okres wahań [s],
• $l$ — długość nici [m],
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne ($g \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).

Okres wahadła zależy tylko od długości nici i od $g$ — a nie od masy ciężarka ani (dla małych kątów) od amplitudy. To właśnie dlatego wahadło świetnie nadaje się do odmierzania czasu w zegarach.

Przemiany energii w drganiach

W drganiach nieustannie zachodzi wymiana energii między dwiema formami:

• energią kinetyczną $E_k$ (ruchu) — największa, gdy ciało przelatuje przez położenie równowagi (największa prędkość),
• energią potencjalną sprężystości $E_p$ — największa w punktach skrajnych (maksymalne wychylenie, ciało na chwilę się zatrzymuje).

Jeśli nie ma tarcia ani oporów, energia całkowita drgań jest stała:

$$E_c = E_k + E_p = \text{const.}$$

To dokładnie ta sama zasada zachowania energii mechanicznej, którą poznałeś wcześniej — tylko zastosowana do ruchu drgającego. W skrajnym wychyleniu cała energia jest potencjalna, w położeniu równowagi — cała kinetyczna, a pomiędzy — podzielona.

Rys. 2. W ruchu drgającym energia potencjalna sprężystości zamienia się w kinetyczną i odwrotnie; suma $E_c = E_k + E_p$ pozostaje stała (przy braku oporów).

Tłumienie i rezonans

W rzeczywistości opory ruchu (tarcie, opór powietrza) sprawiają, że amplituda drgań stopniowo maleje — mówimy o drganiach tłumionych. Huśtawka pozostawiona sama sobie w końcu się zatrzyma.

Aby podtrzymać drgania, trzeba je zasilać z zewnątrz. Gdy pobudzamy układ siłą o częstotliwości równej jego częstotliwości własnej, amplituda gwałtownie rośnie — to rezonans mechaniczny. Właśnie dlatego huśtawkę rozbujamy, popychając ją w rytm jej wahań, a nie byle kiedy.

Rezonans bywa pożyteczny (instrumenty muzyczne, strojenie radia), ale i groźny — drgania rezonansowe potrafią zniszczyć most albo budynek podczas trzęsienia ziemi.

Rys. 3. Krzywa rezonansowa: amplituda drgań jest największa, gdy częstotliwość pobudzania równa się częstotliwości własnej układu.

Zadanie 1 — okres drgań ciężarka na sprężynie

Ciężarek o masie $m = 0{,}5\,\text{kg}$ zawieszono na sprężynie o współczynniku sprężystości $k = 200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Oblicz okres i częstotliwość drgań.

Krok 1. Ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi\sqrt{0{,}0025} = 2\pi \cdot 0{,}05 \approx 0{,}314\,\text{s}$$

Krok 2. Częstotliwość to odwrotność okresu: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}314} \approx 3{,}2\,\text{Hz}$$

Odpowiedź: Okres wynosi ok. $0{,}31\,\text{s}$, a ciężarek wykonuje ok. $3{,}2$ drgania na sekundę.

Zadanie 2 — długość wahadła sekundowego

Jaką długość musi mieć wahadło, aby jego okres wynosił dokładnie $T = 2\,\text{s}$ (tzw. wahadło sekundowe, jedno wychylenie w każdą stronę trwa 1 s)? Przyjmij $g = 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Krok 1. Przekształcamy wzór $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, aby wyznaczyć $l$: $$l = \frac{g \cdot T^2}{4\pi^2}$$

Krok 2. Podstawiamy dane: $$l = \frac{9{,}81 \cdot 2^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81 \cdot 4}{39{,}48} \approx 0{,}99\,\text{m}$$

Odpowiedź: Wahadło sekundowe ma długość ok. 1 metra. Dlatego stojące zegary wahadłowe są tak wysokie.

Interaktywna symulacja — drgania ciężarka na sprężynie

Ustaw masę i sztywność sprężyny, obserwuj drgający ciężarek, rysowany na żywo wykres $x(t)$ oraz paski energii kinetycznej i potencjalnej. Zwróć uwagę, jak zmiana masy i $k$ wpływa na okres:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Okres zależy od amplitudy." W drganiach harmonicznych okres nie zależy od amplitudy — mocniej rozbujane wahadło ma ten sam okres.
2. „Cięższy ciężarek na wahadle daje inny okres." Okres wahadła nie zależy od masy — zależy tylko od długości nici i $g$.
3. Pominięcie znaku minus w prawie Hooke'a. Siła sprężystości jest zwrotna — skierowana przeciwnie do wychylenia; znak minus jest kluczowy.
4. Mylenie okresu z częstotliwością. Okres $T$ [s] to czas jednego drgania, częstotliwość $f$ [Hz] to liczba drgań na sekundę; łączy je $f = \tfrac{1}{T}$.
5. „W punkcie skrajnym prędkość jest największa." Odwrotnie — w skrajnym wychyleniu ciało się zatrzymuje ($E_k = 0$), a największą prędkość ma w położeniu równowagi.
6. Traktowanie rezonansu jako dowolnego pobudzania. Rezonans zachodzi tylko, gdy częstotliwość pobudzania równa się częstotliwości własnej układu.

Podsumowanie

• Ruch drgający to ruch okresowy wokół położenia równowagi; opisują go: wychylenie $x$, amplituda $A$, okres $T$, częstotliwość $f = \tfrac{1}{T}$.
• Przyczyną drgań jest siła zwrotna — dla sprężyny prawo Hooke'a $F = -kx$ (skierowana ku równowadze).
• Okres sprężyny: $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$; okres wahadła: $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$ — oba nie zależą od amplitudy.
• W drganiach zachodzi wymiana energii $E_k \leftrightarrow E_p$; bez oporów $E_c = E_k + E_p = \text{const.}$
• Opory powodują tłumienie (spadek amplitudy); rezonans to gwałtowny wzrost amplitudy przy pobudzaniu z częstotliwością własną.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Energia i pęd — zasada zachowania energii, którą stosujemy w drganiach.
• Dynamika: zasady dynamiki Newtona — druga zasada dynamiki i siła sprężystości.
• Grawitacja i astronomia — grawitacja jako źródło siły zwrotnej w wahadle.