Kinematyka: ruch po okręgu

Wstęp — świat kręci się w kółko

Wskazówki zegara, karuzela, koło młyńskie, ostrze wiertarki, Księżyc okrążający Ziemię, satelita GPS nad naszymi głowami — wszystkie te ciała poruszają się po torze kołowym. Ruch po okręgu jest wszędzie, a jego opis wymaga nowych pojęć: obok znanych już prędkości i przyspieszenia pojawią się wielkości kątowe.

W tej lekcji zajmiemy się ruchem jednostajnym po okręgu — takim, w którym ciało pokonuje łuk o stałej długości w równych odstępach czasu. Zobaczysz, że choć wartość prędkości się nie zmienia, ciało cały czas przyspiesza — bo nieustannie zmienia się kierunek jego ruchu. To jeden z najważniejszych i najczęściej mylonych tematów kinematyki.

Ruch jednostajny po okręgu — okres i częstotliwość

Definicja. Ruch jednostajny po okręgu to ruch po torze kołowym, w którym ciało pokonuje równe łuki w równych odstępach czasu. Wartość (długość) prędkości jest stała, ale jej kierunek nieustannie się zmienia.

Ruch po okręgu jest okresowy — powtarza się po pełnym obiegu. Opisują go dwie podstawowe wielkości:

Okres $T$ to czas jednego pełnego obiegu (jednego okrążenia). Jednostka: sekunda [s].

Częstotliwość $f$ to liczba obiegów w jednostce czasu. Jednostka: herc [Hz], przy czym $1\,\text{Hz} = \tfrac{1}{\text{s}}$.

Okres i częstotliwość są swoimi odwrotnościami:

$$T = \frac{1}{f} \qquad f = \frac{1}{T}$$

Gdzie:

• $T$ — okres [s],
• $f$ — częstotliwość [Hz].

Na przykład wiertło obracające się $50$ razy na sekundę ma $f = 50\,\text{Hz}$, a jego okres to $T = \tfrac{1}{50} = 0{,}02\,\text{s}$.

Rys. 1. W ruchu jednostajnym po okręgu ciało pokonuje pełny obwód $2\pi r$ w czasie jednego okresu $T$. Liczba obiegów na sekundę to częstotliwość $f$.

Prędkość liniowa

Prędkość liniowa $v$ to „zwykła" prędkość, z jaką ciało porusza się wzdłuż okręgu. Skoro w czasie jednego okresu $T$ ciało pokonuje drogę równą obwodowi $2\pi r$, to:

$$v = \frac{2\pi r}{T}$$

Gdzie:

• $v$ — prędkość liniowa [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $r$ — promień okręgu [m],
• $T$ — okres [s],
• $2\pi r$ — długość obwodu okręgu [m].

Kluczowa własność: wektor prędkości liniowej jest zawsze styczny do okręgu — skierowany „do przodu" wzdłuż toru. Gdyby w danej chwili zniknęła siła utrzymująca ciało na okręgu, poleciałoby ono po stycznej (dlatego błoto odrywa się od koła rowerowego stycznie).

Wielkości kątowe — radiany i prędkość kątowa

Do opisu obrotu wygodniej niż droga jest kąt, o jaki obróci się promień łączący ciało ze środkiem. W fizyce kąt mierzymy w radianach [rad].

Radian. Kąt $1$ radiana to taki kąt środkowy, któremu odpowiada łuk o długości równej promieniowi. Pełny obrót to $2\pi$ radianów: $360° = 2\pi\,\text{rad}$.

Przemieszczenie kątowe $\Delta\varphi$ to kąt zakreślony przez promień w danym czasie. Prędkość kątowa $\omega$ (omega) mówi, jak szybko rośnie ten kąt:

$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\omega$ — prędkość kątowa [$\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$],
• $\Delta\varphi$ — przemieszczenie kątowe [rad],
• $\Delta t$ — czas [s].

Ponieważ w czasie jednego okresu $T$ promień zakreśla pełny kąt $2\pi$, prędkość kątową możemy zapisać przez okres i częstotliwość:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Rys. 2. Przemieszczenie kątowe $\Delta\varphi$ to kąt zakreślony przez promień. Kątowi $1\,\text{rad}$ odpowiada łuk o długości równej promieniowi $r$; pełny obieg to $2\pi\,\text{rad}$.

Związek prędkości liniowej i kątowej

Prędkość liniowa i kątowa są ze sobą powiązane przez promień. Skoro $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ oraz $\omega = \tfrac{2\pi}{T}$, to po podzieleniu otrzymujemy prosty i bardzo ważny wzór:

$$v = \omega \cdot r$$

Gdzie:

• $v$ — prędkość liniowa [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $\omega$ — prędkość kątowa [$\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$],
• $r$ — promień [m].

Ważna obserwacja. Wszystkie punkty tej samej obracającej się tarczy (np. karuzeli) mają tę samą prędkość kątową $\omega$ — obracają się „razem". Ale ich prędkość liniowa $v$ jest różna: im dalej od środka (większe $r$), tym większe $v$. Dlatego na karuzeli najszybciej „lecą" osoby siedzące na jej brzegu.

Rys. 3. Ta sama prędkość kątowa $\omega$ dla obu punktów, ale różne prędkości liniowe: $v = \omega r$, więc punkt na większym promieniu porusza się szybciej.

Przyspieszenie dośrodkowe

Oto najważniejsza (i najtrudniejsza) idea tej lekcji. W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości jest stała, ale jej kierunek nieustannie się zmienia. A skoro zmienia się wektor prędkości — to z definicji istnieje przyspieszenie.

Definicja. Przyspieszenie dośrodkowe $a_d$ to przyspieszenie odpowiadające za zmianę kierunku prędkości w ruchu po okręgu. Jest zawsze skierowane do środka okręgu (prostopadle do prędkości).

Jego wartość obliczamy jednym z dwóch równoważnych wzorów:

$$a_d = \frac{v^2}{r} \qquad a_d = \omega^2 \cdot r$$

Gdzie:

• $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$],
• $v$ — prędkość liniowa [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $\omega$ — prędkość kątowa [$\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$],
• $r$ — promień okręgu [m].

Oba wzory dają ten sam wynik — wynikają z siebie po podstawieniu $v = \omega r$.

Rys. 4. W ruchu jednostajnym po okręgu wektor prędkości $\vec{v}$ jest styczny do toru, a wektor przyspieszenia dośrodkowego $\vec{a}_d$ zawsze skierowany do środka — prostopadle do prędkości.

Dlaczego „do środka"? Prędkość jest styczna, a chcemy „zawrócić" ciało tak, aby nie odleciało po stycznej. Zmiana kierunku prędkości „ku środkowi" jest właśnie tym, co utrzymuje ciało na okręgu. Przyspieszenie dośrodkowe nie zmienia szybkości — zmienia tylko kierunek ruchu.

Ruch niejednostajny po okręgu (jakościowo)

Jeśli wartość prędkości liniowej też się zmienia (np. karuzela dopiero się rozpędza), mówimy o ruchu niejednostajnym po okręgu. Pojawia się wtedy dodatkowe przyspieszenie styczne $a_s$, skierowane wzdłuż toru — to ono zmienia wartość prędkości. Całkowite przyspieszenie jest sumą wektorową składowej dośrodkowej (zmiana kierunku) i stycznej (zmiana wartości). Na tym poziomie wystarczy wiedzieć, że takie dwie składowe istnieją.

Przykłady z życia

• Wskazówka sekundowa zegara: $T = 60\,\text{s}$, więc obraca się bardzo wolno, $\omega = \tfrac{2\pi}{60} \approx 0{,}105\,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
• Koło samochodu na autostradzie: duża $\omega$; punkt na bieżniku ma dużą prędkość liniową równą prędkości auta.
• Wirówka w pralce: ogromne $\omega$ daje bardzo duże $a_d$, które „wyrzuca" wodę z tkanin.
• Satelita na orbicie: Księżyc i satelity krążą po (niemal) kołowych torach; ich przyspieszenie dośrodkowe zapewnia grawitacja.

Zadanie 1 — karuzela

Karuzela wykonuje jeden obrót w czasie $T = 4\,\text{s}$. Dziecko siedzi w odległości $r = 3\,\text{m}$ od osi. Oblicz jego prędkość kątową, prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe.

Krok 1. Prędkość kątowa: $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} \approx 1{,}57\,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Krok 2. Prędkość liniowa: $$v = \omega \cdot r = 1{,}57 \cdot 3 \approx 4{,}71\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 3. Przyspieszenie dośrodkowe: $$a_d = \frac{v^2}{r} = \frac{4{,}71^2}{3} \approx \frac{22{,}2}{3} \approx 7{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Odpowiedź: $\omega \approx 1{,}57\,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, $v \approx 4{,}71\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $a_d \approx 7{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ (blisko $g$!).

Zadanie 2 — dwa punkty tarczy

Tarcza obraca się z częstotliwością $f = 2\,\text{Hz}$. Porównaj prędkości liniowe punktu $A$ ($r_A = 0{,}1\,\text{m}$) i punktu $B$ ($r_B = 0{,}3\,\text{m}$).

Krok 1. Prędkość kątowa jest wspólna dla całej tarczy: $$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 \approx 12{,}57\,\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Krok 2. Prędkości liniowe: $$v_A = \omega r_A = 12{,}57 \cdot 0{,}1 \approx 1{,}26\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$v_B = \omega r_B = 12{,}57 \cdot 0{,}3 \approx 3{,}77\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: Oba punkty mają tę samą $\omega$, ale punkt $B$ (dalej od środka) porusza się trzy razy szybciej niż $A$ — bo $r_B = 3 r_A$.

Symulacja ruchu po okręgu

Zmieniaj prędkość kątową i promień, obserwuj krążące ciało oraz jego wektory: niebieski — prędkość liniowa (styczna do toru), czerwony — przyspieszenie dośrodkowe (do środka). Zwróć uwagę, jak zmieniają się wartości $v$ i $a_d$:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Skoro wartość prędkości jest stała, to przyspieszenie jest zerowe." Nieprawda — prędkość to wektor. W ruchu po okręgu nieustannie zmienia się jej kierunek, więc przyspieszenie (dośrodkowe) istnieje, choć szybkość się nie zmienia.
2. Mylenie prędkości liniowej z kątową. $\omega$ mierzymy w $\tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ (jak szybko rośnie kąt), a $v$ w $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (jak szybko ciało mknie po torze). Łączy je $v = \omega r$.
3. „Wszystkie punkty tarczy mają tę samą prędkość liniową." Mają tę samą $\omega$, ale różne $v$ — im większy promień, tym większe $v$.
4. Zły kierunek przyspieszenia. Przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane do środka, a nie „do przodu" ani „na zewnątrz". Uczucie „wypychania na zewnątrz" na karuzeli to efekt bezwładności, nie przyspieszenia dośrodkowego.
5. Stopnie zamiast radianów. We wzorach kinematyki okręgu kąt wyrażamy w radianach; pełny obieg to $2\pi$, a nie $360$.

Podsumowanie

• Ruch jednostajny po okręgu: stała wartość prędkości, ale ciągle zmienny jej kierunek.
• Okres i częstotliwość: $T = \tfrac{1}{f}$, $f = \tfrac{1}{T}$.
• Prędkość liniowa: $v = \tfrac{2\pi r}{T}$, zawsze styczna do okręgu.
• Prędkość kątowa: $\omega = \tfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, wspólna dla wszystkich punktów tarczy.
• Związek: $v = \omega r$ — dalej od środka znaczy szybciej (liniowo).
• Przyspieszenie dośrodkowe: $a_d = \tfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$, skierowane do środka; odpowiada za zmianę kierunku prędkości.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Kinematyka: ruch prostoliniowy — podstawowe pojęcia opisu ruchu.
• Kinematyka: rzuty — ruch w dwóch wymiarach jako złożenie ruchów prostych.