Kinematyka: rzuty

Wstęp — ruch w dwóch wymiarach

Dotąd opisywaliśmy ruch po linii prostej. Ale piłka wyrzucona z ręki, woda tryskająca z węża czy skoczek narciarski poruszają się po torze zakrzywionym — w dwóch wymiarach naraz. Jak fizyka radzi sobie z czymś tak skomplikowanym?

Odpowiedź jest zaskakująco prosta i elegancka: rozkładamy ruch złożony na dwa niezależne ruchy proste — jeden poziomy i jeden pionowy — a każdy z nich znamy już z poprzedniej lekcji. Ten pomysł, pochodzący od Galileusza, jest jednym z najpiękniejszych w całej mechanice. W tej lekcji zastosujemy go do rzutów: poziomego, pionowego i ukośnego.

Zasada niezależności ruchów

Zasada niezależności ruchów (zasada superpozycji). Jeżeli ciało uczestniczy jednocześnie w kilku ruchach, to każdy z nich przebiega tak, jakby pozostałych nie było. Ruch wypadkowy jest złożeniem (sumą) tych ruchów składowych.

To znaczy, że ruch poziomy i pionowy „nie wiedzą o sobie" i nie wpływają na siebie nawzajem. Możemy je analizować osobno, a potem połączyć wyniki.

Najsłynniejsze doświadczenie potwierdzające tę zasadę: z jednej wysokości jednocześnie wypuszczamy jedną kulę pionowo w dół, a drugą wystrzeliwujemy poziomo. Obie spadają na ziemię w tym samym momencie! Ruch poziomy drugiej kuli w niczym nie przeszkadza jej spadaniu — pionowo obie zachowują się identycznie.

Rys. 1. Ruch poziomy nie wpływa na spadanie. Kula wystrzelona poziomo i kula upuszczona są w każdej chwili na tej samej wysokości i spadają w tym samym czasie.

Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch ciała, któremu nadano prędkość początkową poziomą $v_0$ z pewnej wysokości $h$. Rozkładamy go na dwa ruchy:

• w poziomie (oś $x$): ruch jednostajny ze stałą prędkością $v_0$ (brak sił poziomych),
• w pionie (oś $y$): spadek swobodny — ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem $g$, bez prędkości początkowej.

Równania rzutu poziomego

Ruch poziomy (jednostajny):

$$x(t) = v_0 \cdot t$$

Ruch pionowy (spadek swobodny):

$$y(t) = \frac{g \cdot t^2}{2}$$

Gdzie:

• $x$ — droga w poziomie [m],
• $y$ — droga opadania w pionie [m],
• $v_0$ — pozioma prędkość początkowa [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $g \approx 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ — przyspieszenie ziemskie,
• $t$ — czas [s].

Składowe prędkości w chwili $t$:

$$v_x = v_0 \qquad v_y = g \cdot t$$

Pozioma składowa jest stała, a pionowa rośnie z czasem. Wartość (długość) prędkości całkowitej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Rys. 2. Tor rzutu poziomego to parabola. Składowa pozioma prędkości $v_x = v_0$ jest stała, składowa pionowa $v_y = g t$ rośnie, a ich suma wektorowa jest styczna do toru.

Czas spadku i zasięg

Czas spadku zależy tylko od wysokości $h$ — dokładnie tak, jak przy zwykłym spadku swobodnym. Z równania $h = \tfrac{g t^2}{2}$ wyznaczamy:

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Zasięg $z$ — pozioma odległość, jaką ciało pokona do momentu upadku — to droga ruchu jednostajnego przez czas $t$:

$$z = v_0 \cdot t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Gdzie:

• $t$ — czas spadku [s],
• $h$ — wysokość początkowa [m],
• $z$ — zasięg rzutu [m],
• $v_0$ — pozioma prędkość początkowa [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$].

Ważny wniosek. Czas spadku nie zależy od prędkości początkowej $v_0$. Kula wystrzelona z armaty i kula po prostu upuszczona z tej samej wysokości uderzą w ziemię w tej samej chwili — pierwsza po prostu daleko w bok.

Rzut pionowy w górę

Gdy ciało rzucamy pionowo w górę z prędkością $v_0$, mamy do czynienia z ruchem jednostajnie opóźnionym (grawitacja hamuje wznoszenie), a potem przyspieszonym (spadanie). W najwyższym punkcie prędkość chwilowo wynosi zero, choć przyspieszenie wciąż równa się $g$.

Czas wznoszenia i maksymalną wysokość liczymy jak w ruchu jednostajnie zmiennym:

$$t_w = \frac{v_0}{g} \qquad h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Gdzie $t_w$ — czas wznoszenia [s], $h_{max}$ — maksymalna wysokość [m]. Ruch w dół jest lustrzanym odbiciem ruchu w górę: ciało wraca do punktu startu z tą samą co do wartości prędkością $v_0$.

Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ciała wyrzuconego pod pewnym kątem $\alpha$ do poziomu z prędkością początkową $v_0$. To najbardziej ogólny z rzutów — łączy w sobie oba poprzednie.

Prędkość początkową rozkładamy na dwie składowe:

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha \qquad v_{0y} = v_0 \sin\alpha$$

Gdzie:

• $v_{0x}$ — pozioma składowa prędkości początkowej [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $v_{0y}$ — pionowa składowa prędkości początkowej [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$],
• $\alpha$ — kąt rzutu do poziomu,
• $v_0$ — wartość prędkości początkowej [$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$].

Dalej stosujemy zasadę niezależności: w poziomie ruch jednostajny ze stałą $v_{0x}$, w pionie rzut pionowy w górę z prędkością $v_{0y}$. Tor jest parabolą.

Dla rzutu z poziomu ziemi na płaskim terenie zasięg jest największy dla kąta $\alpha = 45°$ — to dlatego kula pchnięta lub oszczep lecą najdalej przy takim właśnie kącie wybicia.

Rys. 3. Rzut ukośny: prędkość początkowa rozkłada się na składowe $v_0\cos\alpha$ i $v_0\sin\alpha$. Tor to symetryczna parabola; największy zasięg (przy rzucie z poziomu) daje kąt $45°$.

Przykłady z życia

• Rzut poziomy: woda z węża trzymanego poziomo, piłka strącona ze stołu, skok w dal (faza lotu w przybliżeniu), paczka zrzucona z lecącego samolotu.
• Rzut pionowy: podrzucona moneta, fontanna tryskająca w górę, piłka odbita prosto do góry.
• Rzut ukośny: rzut do kosza, kopnięta piłka nożna, wystrzelony pocisk, strumień z fontanny ustawionej pod kątem, skok narciarski.

Zadanie 1 — rzut poziomy ze stołu

Piłeczka zsuwa się ze stołu o wysokości $h = 1{,}25\,\text{m}$ z prędkością poziomą $v_0 = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Przyjmij $g = 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz czas spadku i zasięg.

Krok 1. Czas spadku (zależy tylko od $h$): $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}25}{10}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\,\text{s}$$

Krok 2. Zasięg (ruch jednostajny w poziomie): $$z = v_0 \cdot t = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\,\text{m}$$

Odpowiedź: Piłeczka spada przez $0{,}5\,\text{s}$ i ląduje $1{,}5\,\text{m}$ od krawędzi stołu.

Zadanie 2 — prędkość w chwili upadku

Dla piłeczki z zadania 1 oblicz wartość prędkości w chwili uderzenia o podłogę.

Krok 1. Składowe prędkości: $$v_x = v_0 = 3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ $$v_y = g \cdot t = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 2. Wartość prędkości całkowitej (twierdzenie Pitagorasa): $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: Piłeczka uderza w podłogę z prędkością około $5{,}83\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, skierowaną ukośnie w dół.

Symulacja rzutu poziomego

Ustaw wysokość i prędkość początkową, a następnie wystrzel ciało. Niebieska kula leci ruchem rzutu poziomego, a szara spada pionowo z tej samej wysokości w tej samej chwili — obserwuj, że lądują równocześnie, mimo że niebieska oddala się w bok:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Cięższe ciała spadają szybciej." Nie — w spadku swobodnym (pomijając opór powietrza) wszystkie ciała mają to samo przyspieszenie $g$. Masa nie wpływa na czas spadku.
2. „Ruch poziomy skraca lub wydłuża czas spadku." Nie — czas spadku zależy tylko od wysokości $h$. Prędkość pozioma zmienia jedynie zasięg.
3. Dodawanie prędkości składowych zwykłym dodawaniem. Prędkość całkowita to suma wektorowa: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, a nie $v_x + v_y$.
4. Traktowanie ruchu poziomego jako przyspieszonego. W poziomie (bez oporu) nie ma siły, więc ruch jest jednostajny — $v_x = v_0$ przez cały lot.
5. Mylenie kąta największego zasięgu. Dla rzutu z poziomu największy zasięg daje kąt $45°$, a nie $90°$ (pionowy — zasięg zerowy) ani $0°$ (poziomy — natychmiastowy upadek).
6. Zapominanie o rozkładzie prędkości w rzucie ukośnym. Trzeba rozłożyć $v_0$ na $v_0\cos\alpha$ (poziom) i $v_0\sin\alpha$ (pion), a nie używać $v_0$ w obu kierunkach.

Podsumowanie

• Zasada niezależności ruchów: ruch złożony analizujemy jako sumę niezależnych ruchów prostych — poziomego i pionowego.
• Rzut poziomy = ruch jednostajny w poziomie ($x = v_0 t$) + spadek swobodny w pionie ($y = \tfrac{g t^2}{2}$); tor to parabola.
• Czas spadku $t = \sqrt{\tfrac{2h}{g}}$ zależy tylko od wysokości; zasięg $z = v_0\sqrt{\tfrac{2h}{g}}$.
• Składowe prędkości: $v_x = v_0$ (stała), $v_y = g t$ (rośnie); wartość $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
• Rzut pionowy w górę: ruch opóźniony, w szczycie $v = 0$, ale $a = g$; $h_{max} = \tfrac{v_0^2}{2g}$.
• Rzut ukośny: rozkładamy $v_0$ na $v_0\cos\alpha$ i $v_0\sin\alpha$; tor to parabola, największy zasięg przy $45°$.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Kinematyka: ruch prostoliniowy — ruch jednostajny i spadek swobodny, z których składamy rzuty.
• Kinematyka: ruch po okręgu — inny przykład ruchu w dwóch wymiarach.