Drgania harmoniczne — sprawdź się

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   B

   Amplituda $A$ to największa odległość ciała od położenia równowagi (od osi $x=0$). Na wykresie to wysokość szczytu sinusoidy. Odległość między dwoma kolejnymi szczytami to okres $T$ — inna wielkość.

2. 2.

   2 Hz

   $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5} = 2\ \text{Hz}$$ Gdzie $f$ — częstotliwość [Hz], $T$ — okres [s]. Ciało wykonuje 2 drgania na sekundę ($1\ \text{Hz} = 1\ \tfrac{1}{\text{s}}$).

3. 3.

   0,25 s

   $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}$$ Gdzie $T$ — okres [s], $f$ — częstotliwość [Hz]. Okres i częstotliwość są swoimi odwrotnościami.

4. 4.

   Fałsz

   Fałsz. W drganiach harmonicznych okres nie zależy od amplitudy — mocniej rozbujane wahadło ma ten sam okres (choć porusza się szybciej i pokonuje dłuższą drogę). To klasyczny błąd. Okres wahadła zależy tylko od długości nici i od $g$.

5. 5.

   B

   Znak minus mówi, że siła działa przeciwnie do wychylenia $x$: gdy odciągniemy ciało w jedną stronę, siła ciągnie je z powrotem ku środkowi. To właśnie ta siła zwrotna powoduje drgania.

6. 6.

   10 N

   Interesuje nas wartość siły (znak minus określa tylko kierunek): $$|F| = k\cdot x = 200\cdot 0{,}05 = 10\ \text{N}$$ Gdzie $k$ — współczynnik sprężystości [$\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$], $x$ — wychylenie [m]. Siła jest skierowana ku położeniu równowagi.

7. 7.

   0,314 s

   $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi\sqrt{0{,}0025} = 2\pi\cdot 0{,}05 \approx 0{,}314\ \text{s}$$ Gdzie $T$ — okres [s], $m$ — masa [kg], $k$ — sztywność sprężyny [$\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$]. Większa masa wydłuża okres, sztywniejsza sprężyna go skraca.

8. 8.

   Fałsz

   Fałsz. Okres wahadła $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$ zależy tylko od długości nici $l$ i od $g$ — nie od masy ciężarka ani (przy małych kątach) od amplitudy. Dlatego wahadło świetnie odmierza czas w zegarach. To częsty błąd.

9. 9.

   2 s

   $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} = 2\pi\sqrt{0{,}102} = 2\pi\cdot 0{,}319 \approx 2{,}0\ \text{s}$$ Gdzie $T$ — okres [s], $l$ — długość nici [m], $g$ — przyspieszenie grawitacyjne. Wahadło o długości ok. 1 m ma okres ok. 2 s — to tzw. wahadło sekundowe.

10. 10.

    B

    W położeniu równowagi cała energia jest kinetyczna ($E_k$ max), więc prędkość jest największa. W punktach skrajnych ciało na chwilę się zatrzymuje ($v = 0$), bo cała energia jest tam potencjalna.

11. 11.

    B

    W punktach skrajnych ciało się zatrzymuje ($E_k = 0$), więc cała energia jest potencjalna ($E_p$ max). W położeniu równowagi jest odwrotnie: $E_p = 0$, a $E_k$ max. Suma $E_c = E_k + E_p$ pozostaje stała.

12. 12.

    B

    Rezonans występuje tylko wtedy, gdy pobudzamy układ z jego częstotliwością własną — wtedy amplituda gwałtownie rośnie. Dlatego huśtawkę rozbujamy, popychając ją w rytm jej wahań, a nie byle kiedy.

13. 13a.

    0,397 s

    $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}2}{50}} = 2\pi\sqrt{0{,}004} = 2\pi\cdot 0{,}0632 \approx 0{,}40\ \text{s}$$

14. 13b.

    2,5 Hz

    $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}40} \approx 2{,}5\ \text{Hz}$$ Ciężarek wykonuje ok. 2,5 drgania na sekundę.

15. 13c.

    C

    Okres zależy tylko od masy $m$ i sztywności $k$ ($T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$), a nie od amplitudy. Mocniej rozbujany ciężarek porusza się szybciej, ale jedno pełne drganie trwa tyle samo.

16. 14a.

    0,99 m

    Przekształcamy $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, aby wyznaczyć $l$: $$l = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\cdot 2^2}{39{,}5} = \frac{39{,}24}{39{,}5} \approx 0{,}99\ \text{m} \approx 1\ \text{m}$$ Dlatego stojące zegary wahadłowe są tak wysokie.

17. 14b.

    Prawda

    Prawda. Okres wahadła $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$ nie zależy od masy ciężarka — tylko od długości nici i $g$. Cięższy ciężarek będzie wahał się z tym samym okresem 2 s.