Elektromagnetyzm (poziom rozszerzony) — sprawdź się

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   C

   Dobrze. W prawie Coulomba $F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$ siła maleje z kwadratem odległości. Podwojenie $r$ daje $r^2 \to 4r^2$, więc $F \to \tfrac{1}{4}F$. To ta sama zależność $\sim\tfrac{1}{r^2}$ co w prawie powszechnego ciążenia.

2. 2.

   4,5 N

   Najpierw zamieniamy jednostki: $q_1 = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$, $q_2 = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$, $r = 0{,}2\ \text{m}$. Podstawiamy do prawa Coulomba: $$F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{0{,}2^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{20 \cdot 10^{-12}}{0{,}04} = 4{,}5\ \text{N}$$ Gdzie $k$ — stała elektrostatyczna, $q_1, q_2$ — ładunki [C], $r$ — odległość [m]. Częsty błąd to liczenie w $\mu\text{C}$ i cm — wynik byłby wtedy o wiele rzędów wielkości zły.

3. 3.

   C

   Tak. Choć definiujemy $E = \dfrac{F}{q}$, to iloraz siły przez ładunek jest stały dla danego punktu: większy ładunek próbny czuje proporcjonalnie większą siłę. $E$ opisuje pole i istnieje niezależnie od tego, czy jest tam jakiś ładunek próbny.

4. 4.

   50000 V/m

   Z definicji natężenia pola elektrycznego: $$E = \frac{F}{q} = \frac{0{,}1}{2 \cdot 10^{-6}} = 50\,000\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$$ Gdzie $F$ — siła działająca na ładunek próbny [N], $q$ — wartość ładunku próbnego [C]. Pamiętaj o zamianie $\mu\text{C}$ na $\text{C}$: $2\ \mu\text{C} = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$.

5. 5.

   Fałsz

   Fałsz. Natężenie pola to wektor, więc obowiązuje zasada superpozycji wektorowej: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$. Wartości $E_1 + E_2$ dodają się „po prostu" tylko, gdy oba wektory mają ten sam kierunek i zwrot. W ogólnym przypadku składamy je jak wektory (koniec do początku albo przez składowe), a wynik bywa mniejszy niż $E_1 + E_2$.

6. 6.

   $1{,}6 \cdot 10^{-17}$ J

   Praca sił pola przy przejściu ładunku przez napięcie $U$ zamienia się w energię kinetyczną: $$E_k = W = qU = e\,U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100 = 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{J}$$ Gdzie $e$ — ładunek elementarny [C], $U$ — napięcie przyspieszające [V]. Tak działa np. lampa kineskopowa: im większe $U$, tym szybsze elektrony.

7. 7.

   10000 V/m

   W polu jednorodnym natężenie wiąże napięcie z odległością okładek: $$E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0{,}02} = 10\,000\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$$ Gdzie $U$ — napięcie między okładkami [V], $d$ — odległość okładek [m]. Uwaga na zamianę $2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}$ — inaczej wynik będzie 100 razy za mały.

8. 8a.

   0,0012 C

   Z definicji pojemności $C = \dfrac{q}{U}$ wyznaczamy ładunek: $$q = C U = 100 \cdot 10^{-6} \cdot 12 = 1{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{C} = 1{,}2\ \text{mC}$$ Gdzie $C$ — pojemność [F], $U$ — napięcie [V]. Uwaga: $100\ \mu\text{F} = 100 \cdot 10^{-6}\ \text{F}$.

9. 8b.

   0,0072 J

   Energia zgromadzona w kondensatorze: $$E = \frac{C U^2}{2} = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 12^2}{2} = \frac{100 \cdot 10^{-6} \cdot 144}{2} = 7{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$$ Równoważnie $E = \tfrac{qU}{2} = \tfrac{1{,}2 \cdot 10^{-3} \cdot 12}{2} = 7{,}2 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$. Uwaga: napięcie występuje w kwadracie, więc podwojenie $U$ czterokrotnie zwiększa energię.

10. 9a.

    9 Ω

    Przy połączeniu szeregowym opory się sumują: $$R_z = R_1 + R_2 = 6 + 3 = 9\ \Omega$$ Przez oba oporniki płynie ten sam prąd, a napięcia na nich się dodają.

11. 9b.

    2 Ω

    Przy połączeniu równoległym dodają się odwrotności oporów: $$\frac{1}{R_z} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$R_z = 2\ \Omega$$ Typowy błąd to dodanie oporów „na wprost" (wyszłoby $9\ \Omega$) — przy równoległym opór zastępczy jest zawsze mniejszy od najmniejszego z oporów.

12. 9c.

    C

    Dobrze. W połączeniu równoległym prąd rozdziela się na kilka gałęzi, co „ułatwia" mu przepływ — opór zastępczy ($2\ \Omega$) jest mniejszy niż najmniejszy z oporów ($3\ \Omega$). Szeregowo opory się piętrzą, więc $R_z = 9\ \Omega$ jest największe.

13. 10.

    B

    Zgodnie z I prawem Kirchhoffa (prawo węzłów) suma prądów wpływających równa się sumie wypływających: $I = I_1 + I_2$, stąd $I_2 = I - I_1 = 5 - 2 = 3\ \text{A}$. To zasada zachowania ładunku.

14. 11.

    0,1 N

    Dla przewodnika prostopadłego do pola $\alpha = 90°$, więc $\sin\alpha = 1$: $$F = B\,I\,l\,\sin\alpha = 0{,}5 \cdot 2 \cdot 0{,}1 \cdot 1 = 0{,}1\ \text{N}$$ Gdzie $B$ — indukcja magnetyczna [T], $I$ — natężenie prądu [A], $l$ — długość przewodnika w polu [m]. Uwaga: $10\ \text{cm} = 0{,}1\ \text{m}$. Zwrot siły daje reguła lewej dłoni.

15. 12.

    Fałsz

    Fałsz. Siła Lorentza $F = qvB\sin\alpha$ jest zawsze prostopadła do prędkości, więc nie wykonuje pracy i nie zmienia wartości prędkości — jedynie zakrzywia tor. Przy locie prostopadłym do pola ($\alpha = 90°$) ładunek porusza się po okręgu ze stałą szybkością (promień $r = \tfrac{mv}{qB}$).

16. 13.

    0,052 m

    Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej: $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, skąd $$r = \frac{m v}{q B} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 1 \cdot 10^{6}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}2} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-21}}{3{,}2 \cdot 10^{-20}} \approx 0{,}052\ \text{m}$$ Gdzie $m$ — masa protonu [kg], $v$ — prędkość [m/s], $q$ — ładunek [C], $B$ — indukcja [T]. To około $5{,}2\ \text{cm}$ — tak działają spektrometry mas i cyklotrony.

17. 14a.

    0,008 Wb

    Strumień magnetyczny dla pola prostopadłego do ramki ($\cos 0 = 1$): $$\Phi_1 = B_1\,S\,\cos\alpha = 0{,}8 \cdot 0{,}01 \cdot 1 = 0{,}008\ \text{Wb}$$ Gdzie $B_1$ — indukcja początkowa [T], $S$ — pole powierzchni zwoju [m²], $\alpha$ — kąt między $\vec{B}$ a prostopadłą do ramki.

18. 14b.

    5 V

    Zmiana strumienia przez jeden zwój to $\Delta\Phi = S\,\Delta B = 0{,}01 \cdot (0{,}8 - 0{,}3) = 0{,}005\ \text{Wb}$. Prawo Faradaya dla cewki o $n$ zwojach (bierzemy wartość bezwzględną): $$|\varepsilon| = n\,\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 200 \cdot \frac{0{,}005}{0{,}2} = 5\ \text{V}$$ Częsty błąd to pominięcie liczby zwojów $n$ — SEM byłaby wtedy $200$ razy za mała.

19. 14c.

    Fałsz

    Fałsz. Prąd indukuje dopiero zmiana strumienia ($\varepsilon = -n\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$). Przy stałym polu $\Delta\Phi = 0$, więc $\varepsilon = 0$ i prąd nie płynie — nawet jeśli samo pole jest silne. To dlatego nieruchomy magnes w cewce nie wytwarza prądu.

20. 15.

    230 V

    Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego: $$U_{sk} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} = \frac{325}{1{,}41} \approx 230\ \text{V}$$ Gdzie $U_0$ — amplituda (wartość maksymalna) [V]. To właśnie $230\ \text{V}$ podawane dla sieci domowej jest wartością skuteczną, a nie maksymalną. Mylenie tych dwóch wielkości to częsty błąd.

21. 16.

    46 V

    Z równania przekładni transformatora $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{n_1}{n_2}$: $$U_2 = U_1 \cdot \frac{n_2}{n_1} = 230 \cdot \frac{200}{1000} = 46\ \text{V}$$ Gdzie $n_1, n_2$ — liczby zwojów uzwojeń, $U_1, U_2$ — napięcia na nich. Skoro $n_2 < n_1$, to transformator obniża napięcie. Napięcie jest wprost proporcjonalne do liczby zwojów.

22. 17.

    B

    Dobrze. Prąd indukcyjny płynie tak, by przeciwdziałać zmianie strumienia (odpycha zbliżający się magnes, przyciąga oddalający). Dzięki temu musimy wykonać pracę, aby wytworzyć prąd — energia się bilansuje. Stąd znak minus: $\varepsilon = -n\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$.