Elektromagnetyzm (zaawansowany)

Wstęp — elektromagnetyzm na poziomie rozszerzonym

Elektryczność i magnetyzm poznałeś już w szkole podstawowej oraz w klasie 1 i 2 liceum: wiesz, że ładunki się przyciągają i odpychają, że prąd płynie w obwodzie, a magnes wytwarza pole. Teraz spojrzymy na te zjawiska głębiej i bardziej ilościowo — tak, jak wymaga tego matura rozszerzona.

Największa idea tego działu jest zaskakująca: elektryczność i magnetyzm to jedno zjawisko. Poruszający się ładunek wytwarza pole magnetyczne (odkrycie Ørsteda), a zmienne pole magnetyczne wytwarza prąd (odkrycie Faradaya). Z połączenia tych faktów wyrasta cała współczesna technika — od prądnicy w elektrowni, przez transformator na słupie, po fale radiowe i światło.

W tej lekcji przejdziemy kolejno przez:

1. ładunek i wektorowe prawo Coulomba,
2. pole elektryczne, linie pola i zasadę superpozycji,
3. pracę w polu, potencjał i napięcie, pole jednorodne,
4. kondensator — pojemność i energię pola,
5. analizę obwodów prądu stałego prawami Kirchhoffa,
6. pole magnetyczne, siłę elektrodynamiczną i siłę Lorentza,
7. indukcję elektromagnetyczną — strumień, prawo Faradaya i regułę Lenza,
8. prądnicę, prąd przemienny, wartości skuteczne i transformator.

Ładunek i prawo Coulomba

Ładunek elektryczny $q$ jest wielkością zachowaną — w układzie izolowanym całkowity ładunek nie zmienia się (zasada zachowania ładunku). Najmniejszą porcją ładunku jest ładunek elementarny:

$$e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$$

Gdzie $e$ to ładunek elementarny [C] (kulomb) — tyle wynosi (co do wartości) ładunek elektronu i protonu.

Dwa punktowe ładunki oddziałują siłą opisaną prawem Coulomba:

$$F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

Gdzie:

• $F$ — wartość siły oddziaływania [N],
• $k$ — stała elektrostatyczna ($k \approx 9 \cdot 10^{9}\ \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$),
• $q_1$, $q_2$ — ładunki oddziałujących ciał [C],
• $r$ — odległość między ładunkami [m].

Siła jest wektorem skierowanym wzdłuż prostej łączącej ładunki: ładunki jednoimienne (te same znaki) się odpychają, a różnoimienne — przyciągają. Zauważ analogię z prawem powszechnego ciążenia: obie siły maleją z kwadratem odległości ($\sim \tfrac{1}{r^2}$). Podwojenie odległości osłabia siłę czterokrotnie.

Rys. 1. Prawo Coulomba: ładunki jednoimienne się odpychają, różnoimienne przyciągają, a siła maleje z kwadratem odległości. Linie pola elektrycznego wychodzą z ładunków dodatnich i wchodzą do ujemnych.

Pole elektryczne i zasada superpozycji

Ładunek nie oddziałuje „na odległość" w sposób magiczny — wytwarza wokół siebie pole elektryczne, a to pole działa na inne ładunki. Natężenie pola elektrycznego $\vec{E}$ w danym punkcie to siła przypadająca na jednostkowy ładunek próbny:

$$E = \frac{F}{q}$$

Gdzie:

• $E$ — natężenie pola elektrycznego $\left[\tfrac{\text{N}}{\text{C}} = \tfrac{\text{V}}{\text{m}}\right]$,
• $F$ — siła działająca na ładunek próbny [N],
• $q$ — wartość ładunku próbnego [C].

Dla pola wytworzonego przez pojedynczy ładunek punktowy $Q$ łączymy to z prawem Coulomba:

$$E = k\,\frac{|Q|}{r^2}$$

Pole elektryczne obrazujemy liniami pola: wychodzą z ładunków dodatnich, wchodzą do ujemnych, a ich zagęszczenie mówi o wartości pola. Styczna do linii pola w danym punkcie wskazuje kierunek siły na ładunek dodatni.

Gdy pole wytwarza kilka ładunków, korzystamy z zasady superpozycji: wypadkowe natężenie pola jest sumą wektorową natężeń od poszczególnych ładunków:

$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \ldots$$

To ta sama idea, co dodawanie sił — składamy wektory „koniec do początku" albo rozkładamy na składowe.

Praca w polu elektrycznym, potencjał i napięcie

Przesunięcie ładunku w polu elektrycznym wiąże się z pracą — dokładnie jak podnoszenie ciała w polu grawitacyjnym. Pole elektryczne jest zachowawcze: praca zależy tylko od położenia początkowego i końcowego, nie od drogi.

Wprowadzamy potencjał elektryczny $V$ — energię potencjalną przypadającą na jednostkowy ładunek. Różnicę potencjałów między dwoma punktami nazywamy napięciem:

$$U = \frac{W}{q}$$

Gdzie:

• $U$ — napięcie (różnica potencjałów) [V] (wolt),
• $W$ — praca wykonana przy przeniesieniu ładunku między punktami [J],
• $q$ — przenoszony ładunek [C].

Stąd praca sił pola przy przeniesieniu ładunku przez napięcie $U$:

$$W = q\,U$$

Ten wzór jest kluczowy w zadaniach o przyspieszaniu cząstek (np. w lampie kineskopowej): przechodząc przez napięcie $U$, ładunek zyskuje energię kinetyczną $E_k = qU$.

Pole jednorodne i kondensator

Między dwiema równoległymi, przeciwnie naładowanymi płytami (okładkami) powstaje pole jednorodne — o jednakowym natężeniu w każdym punkcie, z liniami pola równoległymi i równo rozłożonymi. Jego natężenie wiąże napięcie między okładkami z ich odległością:

$$E = \frac{U}{d}$$

Gdzie $U$ to napięcie między okładkami [V], a $d$ — odległość między nimi [m]. Stąd bierze się druga jednostka natężenia pola: $\tfrac{\text{V}}{\text{m}}$.

Taki układ dwóch okładek to kondensator — magazyn ładunku i energii. Jego pojemność mówi, ile ładunku zgromadzi się przy danym napięciu:

$$C = \frac{q}{U}$$

Gdzie:

• $C$ — pojemność [F] (farad),
• $q$ — zgromadzony ładunek [C],
• $U$ — napięcie na kondensatorze [V].

Naładowany kondensator przechowuje energię pola elektrycznego:

$$E = \frac{C U^2}{2} = \frac{q U}{2}$$

Gdzie $E$ to energia zmagazynowana [J]. To ta energia zasila lampę błyskową aparatu — kondensator ładuje się powoli, a oddaje energię w mgnieniu oka.

Rys. 2. Pole jednorodne między okładkami kondensatora: $E = \tfrac{U}{d}$. Kondensator o pojemności $C = \tfrac{q}{U}$ magazynuje energię $E = \tfrac{CU^2}{2}$ — uwalnianą np. w lampie błyskowej.

Analiza obwodów — prawa Kirchhoffa

W klasie 1 liceum poznałeś prawo Ohma dla pojedynczego opornika. Do analizy obwodów wielooczkowych (z wieloma źródłami i gałęziami) służą dwa prawa Kirchhoffa.

I prawo Kirchhoffa (prawo węzłów) — suma prądów wpływających do węzła równa się sumie prądów wypływających. To zasada zachowania ładunku:

$$\sum I_\text{wpływ} = \sum I_\text{wypływ}$$

II prawo Kirchhoffa (prawo oczek) — w dowolnym oczku (zamkniętej pętli) suma sił elektromotorycznych równa się sumie spadków napięć na oporach. To zasada zachowania energii:

$$\sum \varepsilon = \sum I R$$

Gdzie:

• $I$ — natężenie prądu w gałęzi [A],
• $R$ — opór [Ω],
• $\varepsilon$ — siła elektromotoryczna (SEM) źródła [V].

Przy łączeniu oporników korzystamy z oporu zastępczego:

Rys. 3. Prawa Kirchhoffa: w węźle prądy się bilansują ($I = I_1 + I_2$), a w oczku suma SEM równa się sumie spadków napięć ($\sum\varepsilon = \sum IR$). Oporniki łączymy szeregowo ($R_z = R_1 + R_2$) lub równolegle.

Pole magnetyczne, siła elektrodynamiczna i siła Lorentza

Pole magnetyczne opisujemy wektorem indukcji magnetycznej $\vec{B}$ (jednostka: tesla, T). Wytwarzają je magnesy oraz poruszające się ładunki (prąd) — to odkrycie Ørsteda.

Na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym działa siła elektrodynamiczna:

$$F = B\,I\,l\,\sin\alpha$$

Gdzie:

• $F$ — siła elektrodynamiczna [N],
• $B$ — indukcja magnetyczna [T],
• $I$ — natężenie prądu [A],
• $l$ — długość przewodnika w polu [m],
• $\alpha$ — kąt między przewodnikiem a liniami pola.

Siła jest prostopadła zarówno do przewodnika, jak i do pola; jej zwrot wyznacza reguła lewej dłoni. To zasada działania każdego silnika elektrycznego.

Ponieważ prąd to ruch ładunków, na pojedynczy poruszający się ładunek w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

$$F = q\,v\,B\,\sin\alpha$$

Gdzie $q$ to ładunek [C], $v$ — jego prędkość [m/s], a $\alpha$ — kąt między prędkością a polem. Siła Lorentza jest zawsze prostopadła do prędkości, więc nie zmienia wartości prędkości, a jedynie zakrzywia tor. Gdy ładunek wlatuje prostopadle do jednorodnego pola ($\alpha = 90°$), porusza się po okręgu. Promień tego okręgu wyznaczamy, przyrównując siłę Lorentza do siły dośrodkowej:

$$q v B = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{m v}{q B}$$

Gdzie $m$ to masa cząstki [kg], a $r$ — promień okręgu [m]. Ta zależność jest podstawą działania spektrometru mas i akceleratorów cyklotronowych.

Rys. 4. Siła elektrodynamiczna $F = BIl\sin\alpha$ działa na przewodnik z prądem (zwrot z reguły lewej dłoni). Na pojedynczy ładunek działa siła Lorentza $F = qvB\sin\alpha$, która zakrzywia jego tor — przy locie prostopadłym do pola po okręgu o promieniu $r = \tfrac{mv}{qB}$.

Indukcja elektromagnetyczna

Skoro prąd wytwarza pole magnetyczne, to czy pole magnetyczne może wytworzyć prąd? Tak — ale tylko wtedy, gdy się zmienia. To indukcja elektromagnetyczna odkryta przez Faradaya.

Wprowadzamy strumień magnetyczny $\Phi$ — miarę „ilości pola" przechodzącego przez powierzchnię:

$$\Phi = B\,S\,\cos\alpha$$

Gdzie:

• $\Phi$ — strumień magnetyczny [Wb] (weber),
• $B$ — indukcja magnetyczna [T],
• $S$ — pole powierzchni ramki [m²],
• $\alpha$ — kąt między $\vec{B}$ a prostopadłą do powierzchni.

Prawo Faradaya mówi, że siła elektromotoryczna indukcji jest równa szybkości zmiany strumienia:

$$\varepsilon = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$

Gdzie $\varepsilon$ to SEM indukcji [V], a $\Delta\Phi$ — zmiana strumienia [Wb] w czasie $\Delta t$ [s]. Dla cewki o $n$ zwojach SEM jest $n$ razy większa: $\varepsilon = -n\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$.

Znak minus to reguła Lenza: prąd indukcyjny płynie tak, aby przeciwdziałać zmianie, która go wywołała. Wsuwając magnes do cewki, indukujemy prąd, który odpycha magnes; wysuwając — prąd, który go przyciąga. To po prostu zasada zachowania energii: żeby wytworzyć prąd, musimy wykonać pracę przeciw sile hamującej ruch.

Rys. 5. Indukcja elektromagnetyczna: zmiana strumienia $\Phi = BS\cos\alpha$ wytwarza SEM $\varepsilon = -\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ (reguła Lenza — znak minus). To zasada działania prądnicy (obracana ramka) i transformatora ($\tfrac{U_1}{U_2} = \tfrac{n_1}{n_2}$).

Prądnica, prąd przemienny i transformator

Obracając ramkę w polu magnetycznym, wciąż zmieniamy strumień przez nią — powstaje prąd przemienny (AC), którego napięcie zmienia się sinusoidalnie. To zasada działania prądnicy w każdej elektrowni.

Prąd przemienny opisujemy okresem $T$ i częstotliwością $f$:

$$f = \frac{1}{T}$$

Gdzie $f$ to częstotliwość [Hz], a $T$ — okres [s]. W polskiej sieci $f = 50\ \text{Hz}$, a napięcie $230\ \text{V}$ to wartość skuteczna.

Wartość skuteczna to takie napięcie (lub natężenie) prądu stałego, które w tym samym oporze wydzieliłoby tę samą moc:

$$U_{sk} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}, \qquad I_{sk} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Gdzie $U_0$ i $I_0$ to amplitudy (wartości maksymalne), a $U_{sk}$, $I_{sk}$ — wartości skuteczne. Napięcie w gniazdku ma więc amplitudę $U_0 = 230 \cdot \sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$.

Transformator wykorzystuje indukcję do zmiany napięcia prądu przemiennego. Dwa uzwojenia na wspólnym rdzeniu żelaznym wiąże przekładnia:

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$$

Gdzie $U_1$, $U_2$ to napięcia na uzwojeniu pierwotnym i wtórnym, a $n_1$, $n_2$ — liczby ich zwojów. Transformator podwyższający ($n_2 > n_1$) pozwala przesyłać energię liniami wysokiego napięcia z małymi stratami, a obniżający ($n_2 < n_1$) — dostarczyć bezpieczne $230\ \text{V}$ do domu.

Zadanie 1 — siła Coulomba i pole elektryczne

Dwa ładunki $q_1 = 2\ \mu\text{C}$ i $q_2 = 3\ \mu\text{C}$ znajdują się w odległości $r = 30\ \text{cm}$. Oblicz siłę oddziaływania. Przyjmij $k = 9 \cdot 10^{9}\ \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$.

Krok 1. Zamieniamy jednostki: $q_1 = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$, $q_2 = 3 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$, $r = 0{,}3\ \text{m}$.

Krok 2. Prawo Coulomba: $$F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{0{,}3^2}$$

Krok 3. Liczymy licznik i mianownik: $$F = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{6 \cdot 10^{-12}}{0{,}09} = 9 \cdot 10^{9} \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} = 0{,}6\ \text{N}$$

Odpowiedź: ładunki (jednoimienne) odpychają się siłą $0{,}6\ \text{N}$.

Zadanie 2 — ruch ładunku w polu magnetycznym

Elektron o prędkości $v = 2 \cdot 10^{7}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ wlatuje prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego o indukcji $B = 0{,}01\ \text{T}$. Oblicz promień okręgu, po którym się porusza. Przyjmij $m = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

Krok 1. Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej, więc: $$r = \frac{m v}{e B}$$

Krok 2. Podstawiamy: $$r = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 2 \cdot 10^{7}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}01}$$

Krok 3. Liczymy: $$r = \frac{1{,}82 \cdot 10^{-23}}{1{,}6 \cdot 10^{-21}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{-2}\ \text{m} = 1{,}1\ \text{cm}$$

Odpowiedź: elektron zatacza okrąg o promieniu około $1{,}1\ \text{cm}$.

Zadanie 3 — SEM indukcji

Strumień magnetyczny przez cewkę o $n = 200$ zwojach zmienia się jednostajnie od $\Phi_1 = 0{,}5\ \text{Wb}$ do $\Phi_2 = 0{,}1\ \text{Wb}$ w czasie $\Delta t = 0{,}2\ \text{s}$. Oblicz wartość siły elektromotorycznej indukcji.

Krok 1. Zmiana strumienia (bierzemy wartość bezwzględną SEM): $$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = 0{,}1 - 0{,}5 = -0{,}4\ \text{Wb}$$

Krok 2. Prawo Faradaya dla cewki o $n$ zwojach: $$|\varepsilon| = n\,\frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t} = 200 \cdot \frac{0{,}4}{0{,}2}$$

Krok 3. Liczymy: $$|\varepsilon| = 200 \cdot 2 = 400\ \text{V}$$

Odpowiedź: w cewce indukuje się SEM o wartości $400\ \text{V}$.

Interaktywna symulacja — pole elektryczne i siła Coulomba

Ustaw suwakami znak i wartość dwóch ładunków oraz odległość między nimi. Obserwuj wektory siły Coulomba (odpychanie dla jednoimiennych, przyciąganie dla różnoimiennych) oraz linie pola elektrycznego. Zobacz, jak siła rośnie ze wzrostem ładunków i maleje z kwadratem odległości:

Interaktywna symulacja — indukcja elektromagnetyczna

Przesuwaj magnes względem cewki (suwakiem lub w trybie automatycznym) i obserwuj SEM indukcji na wykresie. Im szybciej zmienia się strumień, tym większe wychylenie — a przy nieruchomym magnesie prąd znika, mimo silnego pola. Zwróć uwagę, że wsuwanie i wysuwanie dają przeciwne znaki (reguła Lenza):

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie siły z natężeniem pola. Siła $F$ [N] działa na konkretny ładunek; natężenie $E = \tfrac{F}{q}$ [V/m] jest cechą samego pola i istnieje niezależnie od tego, czy jest tam ładunek próbny.
2. Zapominanie o wektorowym charakterze. Pole i siła to wektory — przy kilku ładunkach składamy je wektorowo (zasada superpozycji), nigdy zwykłym dodawaniem wartości, chyba że leżą na jednej prostej.
3. Liczenie prawa Coulomba w mikrokulombach. Zawsze zamieniaj $\mu\text{C}$ na $\text{C}$ ($1\ \mu\text{C} = 10^{-6}\ \text{C}$) i centymetry na metry — inaczej wynik będzie o wiele rzędów wielkości zły.
4. „Siła Lorentza rozpędza ładunek". Nie — siła Lorentza jest zawsze prostopadła do prędkości, więc nie zmienia jej wartości (nie wykonuje pracy), a jedynie zakrzywia tor.
5. Pomijanie liczby zwojów w prawie Faradaya. Dla cewki o $n$ zwojach SEM jest $n$ razy większa: $\varepsilon = -n\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$.
6. „Nieruchomy magnes w cewce daje prąd, bo jest silne pole". Prąd indukuje zmiana strumienia, nie samo pole. Nieruchomy magnes (nawet bardzo silny) → $\Delta\Phi = 0$ → brak prądu.
7. Mylenie wartości skutecznej z amplitudą. $230\ \text{V}$ w gniazdku to wartość skuteczna; amplituda (maksimum) wynosi $U_0 = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$.
8. Odwracanie przekładni transformatora. Napięcie jest wprost proporcjonalne do liczby zwojów: więcej zwojów → wyższe napięcie ($\tfrac{U_1}{U_2} = \tfrac{n_1}{n_2}$).

Podsumowanie

• Prawo Coulomba: $F = k\tfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$ — siła maleje z kwadratem odległości; ładunek elementarny $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.
• Pole elektryczne: $E = \tfrac{F}{q}$; obrazujemy je liniami pola i składamy zgodnie z zasadą superpozycji.
• Napięcie i praca: $U = \tfrac{W}{q}$, $W = qU$; w polu jednorodnym $E = \tfrac{U}{d}$.
• Kondensator: $C = \tfrac{q}{U}$, energia $E = \tfrac{CU^2}{2}$.
• Prawa Kirchhoffa: prawo węzłów ($\sum I_\text{wpływ} = \sum I_\text{wypływ}$) i prawo oczek ($\sum\varepsilon = \sum IR$); oporniki szeregowo $R_z = R_1 + R_2$, równolegle $\tfrac{1}{R_z} = \tfrac{1}{R_1} + \tfrac{1}{R_2}$.
• Pole magnetyczne: siła elektrodynamiczna $F = BIl\sin\alpha$ i siła Lorentza $F = qvB\sin\alpha$; ładunek w polu porusza się po okręgu $r = \tfrac{mv}{qB}$.
• Indukcja: strumień $\Phi = BS\cos\alpha$, prawo Faradaya $\varepsilon = -n\tfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$, reguła Lenza (znak minus = zachowanie energii).
• Prąd przemienny: $f = \tfrac{1}{T}$, wartość skuteczna $U_{sk} = \tfrac{U_0}{\sqrt{2}}$; transformator $\tfrac{U_1}{U_2} = \tfrac{n_1}{n_2}$.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż maturalny quiz z elektromagnetyzmu (poziom rozszerzony) — zadania obliczeniowe z jednostkami, część wieloetapowa, tak jak na arkuszu CKE: Elektromagnetyzm (poziom rozszerzony) — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Elektromagnetyzm — podstawowe ujęcie: prawo Coulomba, pole elektryczne, siła Lorentza i fale EM (klasa 2 LP).
• Prąd elektryczny stały — natężenie, napięcie, prawo Ohma i I prawo Kirchhoffa (klasa 1 LP).
• Magnetyzm — pole magnetyczne, indukcja, prądnica i transformator (klasa 1 LP).
• Mechanika (zaawansowana) — siła dośrodkowa i ruch po okręgu, przydatne przy sile Lorentza.
• Termodynamika (zaawansowana) — poprzedni rozdział poziomu rozszerzonego.