Fale i optyka (poziom rozszerzony) — sprawdź się

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   C

   Dobrze. Fala to rozchodzące się zaburzenie, które przenosi energię, ale nie materię. Pływak na falach unosi się w górę i w dół (drga), lecz nie płynie razem z falą w stronę brzegu.

2. 2.

   2 m

   Z podstawowego związku falowego $v = \lambda f$ wyznaczamy długość fali: $$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2\ \text{m}$$ Gdzie $v$ — prędkość fali [m/s], $f$ — częstotliwość [Hz], $\lambda$ — długość fali [m]. Uwaga: nie mylimy prędkości fali z prędkością drgających cząsteczek — cząsteczki tylko drgają w miejscu.

3. 3.

   B

   Dobrze. Trwałe prążki powstają tylko dla fal spójnych, czyli o stałej różnicy faz. Zwykłe źródła emitują światło chaotycznie, więc obraz interferencyjny „miga" i uśrednia się do jednolitego oświetlenia. Dlatego w doświadczeniu Younga używa się jednego źródła i dwóch szczelin.

4. 4.

   3 mm

   Najpierw zamieniamy jednostki na metry: $\lambda = 500 \cdot 10^{-9}\ \text{m} = 5 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$, $d = 0{,}25 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}$. Stosujemy wzór na odstęp prążków: $$\Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{5 \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}5}{2{,}5 \cdot 10^{-4}} = \frac{7{,}5 \cdot 10^{-7}}{2{,}5 \cdot 10^{-4}} = 3 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 3\ \text{mm}$$ Gdzie $\lambda$ — długość fali [m], $L$ — odległość ekranu [m], $d$ — odległość szczelin [m]. Częsty błąd to pominięcie zamiany nm i mm na metry — wynik byłby o wiele rzędów wielkości zły.

5. 5.

   Fałsz

   Fałsz. Warunek $\Delta r = k\lambda$ to wzmocnienie (jasny prążek) — fale spotykają się w fazie. Wygaszenie zachodzi, gdy różnica dróg to nieparzysta wielokrotność połowy fali: $\Delta r = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$ — fale spotykają się w przeciwfazie i znoszą. Mylenie tych dwóch warunków to jeden z najczęstszych błędów.

6. 6a.

   $2{,}5 \cdot 10^{-6}$ m

   Skoro na $1\ \text{mm}$ przypada $400$ szczelin, to na jedną szczelinę przypada: $$d = \frac{1\ \text{mm}}{400} = \frac{10^{-3}\ \text{m}}{400} = 2{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{m}$$ Gdzie $d$ — stała siatki [m]. To odwrotność gęstości szczelin. Uwaga na zamianę $\text{mm} \to \text{m}$.

7. 6b.

   0,2

   Z równania siatki dyfrakcyjnej $d\sin\theta = k\lambda$ wyznaczamy dla $k = 1$: $$\sin\theta = \frac{k\lambda}{d} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 10^{-7}}{2{,}5 \cdot 10^{-6}} = 0{,}2$$ Gdzie $k$ — rząd maksimum, $\lambda$ — długość fali [m], $d$ — stała siatki [m]. Odpowiada to kątowi $\theta = \arcsin 0{,}2 \approx 11{,}5°$.

8. 6c.

   C

   Dobrze. Z $d\sin\theta = k\lambda$ wynika, że kąt rośnie wraz z $\lambda$. Dlatego siatka rozszczepia światło białe: czerwień (dłuższa fala) ugina się bardziej niż fiolet. To odwrotnie niż w pryzmacie, gdzie najbardziej załamuje się fiolet.

9. 7.

   1133,3 Hz

   Źródło się zbliża, więc w mianowniku bierzemy znak minus: $$f' = f\,\frac{v}{v - v_z} = 1000 \cdot \frac{340}{340 - 40} = 1000 \cdot \frac{340}{300} \approx 1133\ \text{Hz}$$ Gdzie $f$ — częstotliwość źródła [Hz], $v$ — prędkość dźwięku [m/s], $v_z$ — prędkość źródła [m/s]. Częstotliwość odbierana jest wyższa od emitowanej — dlatego zbliżająca się karetka brzmi „wyżej".

10. 8.

    Prawda

    Prawda. Przy oddalaniu fale „rozciągają się" (dłuższa długość fali), więc odbierana częstotliwość jest niższa: $f' = f\tfrac{v}{v + v_z}$ (znak plus dla oddalania). To słychać, gdy karetka nas mija — ton nagle się obniża. Przy zbliżaniu jest odwrotnie: ton jest wyższy.

11. 9.

    Fałsz

    Fałsz. Polaryzacja jest możliwa tylko dla fal poprzecznych, w których drgania są prostopadłe do kierunku ruchu fali (jak światło). Dźwięk to fala podłużna — drgania zachodzą wzdłuż kierunku rozchodzenia, więc nie ma „płaszczyzny drgań" do wyróżnienia. Właśnie wygaszanie światła przez dwa skrzyżowane polaryzatory jest dowodem, że światło jest falą poprzeczną.

12. 10.

    B

    Dobrze. Kąt padania mierzymy od normalnej (prostej prostopadłej do powierzchni). Skoro promień tworzy $30°$ z powierzchnią, to z normalną tworzy $90° - 30° = 60°$. Z prawa odbicia $\alpha = \beta$, więc kąt odbicia też wynosi $60°$.

13. 11.

    1,5

    Współczynnik załamania to stosunek prędkości światła w próżni do prędkości w ośrodku: $$n = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{8}} = 1{,}5$$ Gdzie $c$ — prędkość światła w próżni [m/s], $v$ — prędkość światła w ośrodku [m/s]. Współczynnik załamania jest bezwymiarowy i zawsze $n \ge 1$ (światło w ośrodku jest wolniejsze niż w próżni).

14. 12a.

    0,376

    Z prawa Snella $n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$ wyznaczamy $\sin\beta$: $$\sin\beta = \frac{n_1 \sin\alpha}{n_2} = \frac{1 \cdot 0{,}5}{1{,}33} \approx 0{,}376$$ Gdzie $n_1, n_2$ — współczynniki załamania ośrodków, $\alpha$ — kąt padania. Odpowiada to $\beta = \arcsin 0{,}376 \approx 22°$.

15. 12b.

    C

    Dobrze. Woda ma większy współczynnik załamania ($n_2 > n_1$), więc światło zwalnia i załamuje się ku normalnej — kąt załamania jest mniejszy od kąta padania ($22° < 30°$).

16. 13.

    48,8 °

    Światło wychodzi z ośrodka gęstszego (woda, $n_1 = 1{,}33$) do rzadszego (powietrze, $n_2 = 1$). Warunek kąta granicznego (dla $\beta = 90°$): $$\sin\alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{1{,}33} \approx 0{,}752$$ $$\alpha_{gr} = \arcsin 0{,}752 \approx 48{,}8°$$ Gdzie $n_1$ — współczynnik ośrodka gęstszego, $n_2$ — rzadszego. Powyżej tego kąta zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie — światło nie ucieka z wody.

17. 14.

    Fałsz

    Fałsz. Całkowite wewnętrzne odbicie zachodzi wyłącznie przy przejściu z ośrodka gęstszego optycznie do rzadszego ($n_1 > n_2$) i tylko powyżej kąta granicznego. Przy przejściu powietrze → szkło ($n_1 < n_2$) światło zawsze się załamuje i wnika do szkła — kąt graniczny w ogóle nie istnieje. To zjawisko działa np. w światłowodach (szkło → otoczenie), a nie odwrotnie.

18. 15a.

    60 cm

    Z równania soczewki $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ wyznaczamy $\dfrac{1}{y}$: $$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60}$$ $$y = 60\ \text{cm}$$ Gdzie $f$ — ogniskowa, $x$ — odległość przedmiotu, $y$ — odległość obrazu. Dodatnie $y$ oznacza obraz rzeczywisty po drugiej stronie soczewki.

19. 15b.

    3

    Powiększenie to stosunek odległości obrazu do odległości przedmiotu: $$p = \frac{y}{x} = \frac{60}{20} = 3$$ Gdzie $y$ — odległość obrazu, $x$ — odległość przedmiotu. $p > 1$ oznacza obraz powiększony (3 razy większy od przedmiotu).

20. 15c.

    B

    Dobrze. Dla soczewki skupiającej, gdy przedmiot jest między $f$ a $2f$ ($15\ \text{cm} < 20\ \text{cm} < 30\ \text{cm}$), obraz jest rzeczywisty (dodatnie $y$), odwrócony i powiększony ($p = 3 > 1$). Tak działa np. projektor.

21. 16.

    2 D

    Zdolność skupiająca to odwrotność ogniskowej wyrażonej w metrach ($f = 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}$): $$Z = \frac{1}{f} = \frac{1}{0{,}5} = 2\ \text{D}$$ Gdzie $f$ — ogniskowa [m], $Z$ — zdolność skupiająca [D] ($1\ \text{D} = \tfrac{1}{\text{m}}$). Częsty błąd to podstawienie ogniskowej w centymetrach — wynik byłby 100 razy za mały. Soczewki skupiające mają $Z > 0$, rozpraszające $Z < 0$.

22. 17.

    C

    Dobrze. To dwa różne zjawiska: dyfrakcja (ugięcie fali „za róg", wyraźna gdy szczelina jest porównywalna z $\lambda$) i załamanie (zmiana kierunku i prędkości przy przejściu między ośrodkami, opisana prawem Snella). Ich mylenie to częsty błąd.