Fizyka relatywistyczna (poziom rozszerzony) — sprawdź się

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   A

   Dobrze. To drugi postulat (stałość prędkości światła). Właśnie z niego wynikają wszystkie „dziwne" konsekwencje: skoro każdy zmierzy tę samą $c$, obserwatorzy poruszający się względem siebie muszą różnić się w pomiarach czasu i odległości.

2. 2.

   Prawda

   Prawda. To pierwszy postulat (zasada względności). Układ inercjalny to taki, który spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Ponieważ prawa fizyki są w każdym z nich identyczne, nie istnieje wyróżniony układ „absolutnego spoczynku".

3. 3.

   A

   Dobrze. W układzie pasażera żarówka spoczywa pośrodku, obie ściany są w równej odległości, więc światło (o prędkości $c$ w obie strony) dociera do nich w tej samej chwili. Dla pasażera zdarzenia są jednoczesne.

4. 4.

   1,25

   Korzystamy ze wzoru na czynnik Lorentza. Uwaga: pod pierwiastkiem jest $\tfrac{v^2}{c^2}$, a nie $\tfrac{v}{c}$ — dla $v = 0{,}6\ c$ mamy $\tfrac{v^2}{c^2} = 0{,}6^2 = 0{,}36$: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$$ Gdzie $v$ — prędkość ciała, $c$ — prędkość światła, $\gamma$ — bezwymiarowy czynnik Lorentza ($\gamma \ge 1$). Najczęstszy błąd to liczenie $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ zamiast $1 - 0{,}36$ — trzeba pamiętać o kwadracie.

5. 5.

   5 µs

   Czas życia mierzony w spoczynku to czas własny $\Delta t_0$ — zawsze najkrótszy. Obserwator, względem którego cząstka się porusza, mierzy czas dłuższy (dylatacja czasu): $$\Delta t = \gamma\ \Delta t_0 = 1{,}67 \cdot 3{,}0\ \mu\text{s} \approx 5{,}0\ \mu\text{s}$$ Gdzie $\Delta t_0$ — czas własny, $\Delta t$ — czas w układzie obserwatora, $\gamma$ — czynnik Lorentza. Ponieważ $\gamma \ge 1$, zawsze $\Delta t \ge \Delta t_0$ — „ruchomy zegar spóźnia się". Częsty błąd to dzielenie przez $\gamma$ zamiast mnożenia.

6. 6.

   Fałsz

   Fałsz. Jest dokładnie odwrotnie: ruchome ciało jest krótsze (skrócenie długości). Długość spoczynkowa $l_0$ jest największa, a obserwator, względem którego ciało pędzi, mierzy $l = \tfrac{l_0}{\gamma} \le l_0$ (bo $\gamma \ge 1$). Wzór $l = \gamma\ l_0$ to typowe odwrócenie zależności. Uwaga: skróceniu ulega tylko wymiar wzdłuż ruchu.

7. 7.

   80 m

   Obserwator, względem którego pręt się porusza, mierzy długość skróconą: $$l = \frac{l_0}{\gamma} = \frac{100\ \text{m}}{1{,}25} = 80\ \text{m}$$ Gdzie $l_0$ — długość spoczynkowa (własna, największa), $l$ — długość zmierzona przez obserwatora w ruchu, $\gamma$ — czynnik Lorentza. Częsty błąd to mnożenie ($100 \cdot 1{,}25 = 125\ \text{m}$) — dałoby długość większą niż spoczynkowa, co jest niemożliwe.

8. 8.

   D

   Dobrze. Energia całkowita to $E = \gamma\ m c^2$. Gdy $v \to c$, mianownik $\sqrt{1 - v^2/c^2} \to 0$, więc $\gamma \to \infty$, a wraz z nim energia potrzebna do dalszego rozpędzania. Dlatego $c$ jest prędkością graniczną we Wszechświecie.

9. 9.

   $1{,}8 \cdot 10^{14}$ J

   Podstawiamy do wzoru na energię spoczynkową (uwaga na kwadrat prędkości światła): $$E_0 = m c^2 = 0{,}002 \cdot \left(3 \cdot 10^{8}\right)^2 = 0{,}002 \cdot 9 \cdot 10^{16} = 1{,}8 \cdot 10^{14}\ \text{J}$$ Gdzie $m$ — masa [kg], $c$ — prędkość światła. Ponieważ $c^2$ jest ogromne, nawet niewielka masa kryje kolosalną energię — to ona uwalnia się w reakcjach jądrowych przy ubytku masy. Częsty błąd to pominięcie kwadratu i mnożenie przez samo $c$.

10. 10a.

    90 m

    Obserwator w ruchu mierzy długość skróconą: $$l = \frac{l_0}{\gamma} = \frac{150\ \text{m}}{1{,}67} \approx 90\ \text{m}$$ Gdzie $l_0$ — długość spoczynkowa, $\gamma$ — czynnik Lorentza. Skracamy tylko wymiar wzdłuż ruchu, więc długość maleje ze $150\ \text{m}$ do około $90\ \text{m}$.

11. 10b.

    C

    Dobrze. Kontrakcja Lorentza działa wyłącznie w kierunku ruchu. Wymiary poprzeczne (tu: wysokość rakiety) pozostają niezmienione.

12. 10c.

    150 m

    Dla astronautów rakieta spoczywa — są z nią w jednym układzie. Mierzą więc pełną długość spoczynkową: $$l = l_0 = 150\ \text{m}$$ Skrócenie długości jest względne: widzi je tylko obserwator, względem którego rakieta się porusza. Astronauci na pokładzie żadnego skrócenia nie zauważają.

13. 11a.

    $1 \cdot 10^{-10}$ J

    Energia całkowita ciała w ruchu to $\gamma$-krotność energii spoczynkowej: $$E = \gamma\ m c^2 = \gamma\ E_0 = 1{,}25 \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-11} = 1{,}0 \cdot 10^{-10}\ \text{J}$$ Gdzie $E_0 = mc^2$ — energia spoczynkowa, $\gamma$ — czynnik Lorentza, $E$ — energia całkowita. Dla ciała w ruchu zawsze $E > E_0$.

14. 11b.

    $2 \cdot 10^{-11}$ J

    Energia kinetyczna to nadwyżka energii całkowitej nad spoczynkową: $$E_k = E - E_0 = (\gamma - 1)\ m c^2 = (1{,}25 - 1) \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-11} = 0{,}25 \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-11} = 2{,}0 \cdot 10^{-11}\ \text{J}$$ Gdzie $(\gamma - 1)$ mnożymy przez energię spoczynkową. Częsty błąd to przyjęcie $E_k = E$ (pominięcie odjęcia energii spoczynkowej) — foton nie, ale ciało z masą ma energię spoczynkową „na starcie".

15. 11c.

    D

    Dobrze. Dla $v \ll c$ czynnik $\gamma$ jest bliski 1, a rozwinięcie $(\gamma-1)mc^2$ daje w granicy $\tfrac{m v^2}{2}$. Teoria względności nie „unieważnia" fizyki Newtona — zawiera ją jako przypadek szczególny dla małych prędkości.

16. 12.

    Fałsz

    Fałsz. Nawet w spoczynku ciało ma energię spoczynkową $E_0 = mc^2$, wynikającą z samej jego masy. Energia kinetyczna to dopiero nadwyżka ponad tę wartość: $E_k = (\gamma - 1)mc^2$. Traktowanie $E = mc^2$ jak energii kinetycznej (albo uznanie, że spoczywające ciało ma zerową energię) to typowy błąd.

17. 13.

    A

    Dobrze. To bezpośrednia konsekwencja drugiego postulatu: światło zawsze mierzone jest z prędkością $c$, niezależnie od tego, jak szybko porusza się źródło. Prędkości nie dodają się „po galileuszowsku".

18. 14.

    7,09

    Liczymy $\tfrac{v^2}{c^2} = 0{,}99^2 = 0{,}9801$, więc: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx \frac{1}{0{,}141} \approx 7{,}09$$ Gdzie $v$ — prędkość, $c$ — prędkość światła. Widać, jak silnie $\gamma$ rośnie blisko $c$: dla $0{,}5\ c$ było $\gamma \approx 1{,}15$, a dla $0{,}99\ c$ już ponad siedem. To dlatego efekty relatywistyczne stają się dramatyczne dopiero przy prędkościach bliskich $c$.

19. 15a.

    2,2 µs

    Czas własny $\Delta t_0$ to czas mierzony zegarem spoczywającym względem zdarzenia — tutaj w układzie samego mionu. Wynosi on: $$\Delta t_0 = 2{,}2\ \mu\text{s}$$ To zawsze najkrótszy ze zmierzonych czasów. Częsty błąd to mylenie go z czasem mierzonym przez obserwatora na Ziemi.

20. 15b.

    15,6 µs

    Obserwator na Ziemi, względem którego mion pędzi, mierzy czas wydłużony (dylatacja czasu): $$\Delta t = \gamma\ \Delta t_0 = 7{,}1 \cdot 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 15{,}6\ \mu\text{s}$$ Gdzie $\gamma$ — czynnik Lorentza, $\Delta t_0$ — czas własny. Dla obserwatora na Ziemi mion „żyje" ponad siedem razy dłużej niż w spoczynku.

21. 15c.

    C

    Dobrze. To realny, zmierzony efekt relatywistyczny. Wydłużony czas życia ($\Delta t = \gamma\ \Delta t_0 \approx 15{,}6\ \mu\text{s}$) wystarcza, by mion przy prędkości bliskiej $c$ pokonał grubość atmosfery. (Równoważnie: w układzie mionu to atmosfera jest skrócona.)