Fizyka relatywistyczna (wstęp)

Wstęp — kiedy zwykła fizyka przestaje wystarczać

Całą dotychczasową mechanikę budowaliśmy na „zdroworozsądkowych" założeniach: czas płynie wszędzie jednakowo, długości są niezmienne, a prędkości po prostu się dodają. Gdy jedziesz pociągiem z prędkością $30\ \text{m/s}$ i idziesz do przodu z prędkością $2\ \text{m/s}$, to dla obserwatora na peronie poruszasz się z prędkością $32\ \text{m/s}$. To zasada względności Galileusza i dla codziennych prędkości działa znakomicie.

Problem pojawia się przy świetle. Doświadczenia z końca XIX wieku pokazały coś niepojętego: prędkość światła jest taka sama dla wszystkich obserwatorów — niezależnie od tego, jak szybko porusza się źródło ani obserwator. Gdyby prędkości dodawały się „po galileuszowsku", światło z reflektorów pędzącej rakiety powinno lecieć szybciej niż światło z rakiety stojącej. A jednak zawsze mierzymy tę samą wartość $c \approx 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

W 1905 roku Albert Einstein rozwiązał tę zagadkę w sposób radykalny: skoro prędkość światła jest stała, to czas i przestrzeń muszą być względne. Tak powstała szczególna teoria względności. W tej lekcji przejdziemy kolejno przez:

1. dwa postulaty teorii względności,
2. względność jednoczesności — koniec absolutnego „teraz",
3. dylatację czasu — ruchome zegary chodzą wolniej,
4. skrócenie długości — ruchome ciała są krótsze,
5. czynnik Lorentza $\gamma$ — jak duże są te efekty,
6. równoważność masy i energii — słynne $E = mc^2$.

Dwa postulaty szczególnej teorii względności

Cała teoria opiera się na dwóch prostych, ale rewolucyjnych założeniach.

Postulat I (zasada względności). Prawa fizyki są takie same we wszystkich układach inercjalnych (poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym). Żadnym doświadczeniem wykonanym „w środku" nie da się stwierdzić, czy laboratorium spoczywa, czy jedzie ze stałą prędkością.

Postulat II (stałość prędkości światła). Prędkość światła w próżni ma tę samą wartość $c$ we wszystkich układach inercjalnych — niezależnie od ruchu źródła i obserwatora.

Drugi postulat jest źródłem wszystkich „dziwnych" konsekwencji. Właśnie dlatego, że każdy zmierzy tę samą $c$, obserwatorzy poruszający się względem siebie muszą różnić się w pomiarach czasu i odległości.

Rys. 1. Dwa postulaty Einsteina: prawa fizyki są jednakowe w każdym układzie inercjalnym, a prędkość światła $c$ jest dla wszystkich taka sama — nawet dla obserwatora w pędzącej rakiecie.

Względność jednoczesności — koniec absolutnego „teraz"

Pierwszą ofiarą stałej prędkości światła jest pojęcie jednoczesności. W fizyce Newtona zdarzenia „jednoczesne" dla jednego obserwatora są jednoczesne dla wszystkich. W teorii względności — już nie.

Wyobraź sobie wagon jadący z dużą prędkością. Dokładnie w jego środku zapala się żarówka i wysyła światło w obie strony. Dla pasażera w wagonie światło dobiega do przedniej i tylnej ściany jednocześnie — obie ściany są tak samo daleko, a światło leci w obie strony z tą samą prędkością.

Ale obserwator na peronie widzi to inaczej: tylna ściana „nadjeżdża" na światło, a przednia „ucieka" przed nim. Ponieważ prędkość światła jest dla niego również równa $c$ (postulat II), światło dobiega do tylnej ściany wcześniej niż do przedniej. Dwa zdarzenia jednoczesne dla pasażera nie są jednoczesne dla obserwatora na peronie.

Wniosek jest fundamentalny: nie istnieje jeden, wspólny dla wszystkich czas. To, co jest „teraz", zależy od układu odniesienia.

Rys. 2. Błysk ze środka wagonu: dla pasażera światło dociera do obu ścian jednocześnie, dla obserwatora na peronie — najpierw do tylnej. Jednoczesność jest względna.

Dylatacja czasu — ruchome zegary chodzą wolniej

Najbardziej znaną konsekwencją teorii jest dylatacja czasu: zegar poruszający się względem obserwatora chodzi wolniej niż jego własny zegar.

Najłatwiej to zobaczyć na zegarze świetlnym — myślowym urządzeniu, w którym impuls światła odbija się w górę i w dół między dwoma lustrami. Jedno „tyknięcie" to przebycie drogi między lustrami.

Gdy zegar spoczywa, światło biegnie prosto w górę i w dół. Gdy zegar się porusza, dla obserwatora z zewnątrz światło musi przebyć drogę po skosie (zygzakiem) — a więc dłuższą. Ponieważ prędkość światła jest stała, dłuższa droga oznacza dłuższy czas jednego tyknięcia. Ruchomy zegar tyka rzadziej — czas w nim płynie wolniej.

Ilościowo związek między czasem zmierzonym w obu układach opisuje wzór:

$$\Delta t = \gamma \, \Delta t_0$$

Gdzie:

• $\Delta t_0$ — czas własny, czyli czas zmierzony zegarem spoczywającym względem zdarzenia (w układzie zegara) [s],
• $\Delta t$ — czas tego samego zjawiska zmierzony przez obserwatora, względem którego zegar się porusza [s],
• $\gamma$ — czynnik Lorentza (zawsze $\gamma \ge 1$).

Ponieważ $\gamma \ge 1$, mamy $\Delta t \ge \Delta t_0$ — obserwator zewnętrzny mierzy czas dłuższy niż czas własny. Krótko: „ruchomy zegar spóźnia się".

Rys. 3. Zegar świetlny. W ruchu światło pokonuje dłuższą, skośną drogę, więc jedno tyknięcie trwa dłużej — czas płynie wolniej. To dylatacja czasu $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$.

Skrócenie długości — ruchome ciała są krótsze

Skoro względny jest czas, względna musi być też długość. Ciało poruszające się względem obserwatora jest krótsze w kierunku ruchu niż to samo ciało w spoczynku. To zjawisko nazywamy skróceniem długości (kontrakcją Lorentza).

Długość zmierzona w układzie, w którym ciało spoczywa, to długość spoczynkowa (własna) $l_0$ — jest ona największa. Obserwator, względem którego ciało pędzi, zmierzy długość mniejszą:

$$l = \frac{l_0}{\gamma}$$

Gdzie:

• $l_0$ — długość spoczynkowa (własna), zmierzona w układzie ciała [m],
• $l$ — długość zmierzona przez obserwatora, względem którego ciało się porusza [m],
• $\gamma$ — czynnik Lorentza.

Ponieważ $\gamma \ge 1$, mamy $l \le l_0$ — ruchome ciało jest krótsze. Uwaga: skróceniu ulega tylko wymiar wzdłuż kierunku ruchu; wymiary poprzeczne pozostają bez zmian.

Rys. 4. Ciało w ruchu jest krótsze w kierunku ruchu: $l = \tfrac{l_0}{\gamma}$. Wymiary prostopadłe do ruchu się nie zmieniają.

Czynnik Lorentza — jak duże są te efekty

Wielkość wszystkich efektów relatywistycznych zależy od jednej liczby — czynnika Lorentza $\gamma$:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Gdzie:

• $\gamma$ — czynnik Lorentza (bezwymiarowy, zawsze $\gamma \ge 1$),
• $v$ — prędkość ciała (lub układu) [m/s],
• $c$ — prędkość światła w próżni, $c \approx 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

Przyjrzyjmy się jego wartościom:

Widać, dlaczego na co dzień nie zauważamy efektów relatywistycznych: dla zwykłych prędkości $v \ll c$, więc $\gamma$ jest praktycznie równe 1 i czas oraz długości zachowują się „po newtonowsku". Efekty stają się duże dopiero, gdy $v$ zbliża się do $c$ — wtedy mianownik dąży do zera, a $\gamma$ rośnie nieograniczenie.

To prowadzi do kluczowego wniosku: żadne ciało obdarzone masą nie może osiągnąć prędkości światła. Gdy $v \to c$, czynnik $\gamma \to \infty$, a więc rozpędzenie ciała wymagałoby nieskończonej energii. Prędkość światła $c$ jest prędkością graniczną we Wszechświecie.

Rys. 5. Czynnik Lorentza $\gamma$ w funkcji $v/c$. Blisko 1 dla małych prędkości, rośnie do nieskończoności przy $v \to c$ — dlatego $c$ jest prędkością graniczną.

Równoważność masy i energii — E = mc²

Najsłynniejsza konsekwencja teorii względności to równoważność masy i energii. Einstein wykazał, że masa jest szczególną formą energii — a przelicznik między nimi to kwadrat prędkości światła. Ciało o masie $m$ spoczywające ma energię spoczynkową:

$$E_0 = m\,c^2$$

Gdzie:

• $E_0$ — energia spoczynkowa [J],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $c$ — prędkość światła, $c \approx 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

Ponieważ $c^2$ jest ogromne, nawet niewielka masa kryje w sobie kolosalną energię. To ona uwalnia się w reakcjach jądrowych: w rozszczepieniu uranu i w syntezie termojądrowej w gwiazdach niewielki ubytek masy zamienia się w energię (to omawialiśmy przy energii wiązania jądra).

Gdy ciało się porusza, jego energia całkowita rośnie i wynosi:

$$E = \gamma\, m\, c^2$$

Gdzie $E$ to energia całkowita [J], a $\gamma$ — czynnik Lorentza. Różnica między energią całkowitą a spoczynkową to relatywistyczna energia kinetyczna:

$$E_k = E - E_0 = (\gamma - 1)\, m\, c^2$$

Dla małych prędkości ($v \ll c$) wzór ten przechodzi w dobrze znany szkolny wzór $E_k = \tfrac{m v^2}{2}$ — teoria względności nie „unieważnia" fizyki Newtona, lecz ją uogólnia i zawiera jako przypadek szczególny dla małych prędkości.

Rys. 6. $E = mc^2$: masa jest formą energii. Ciało spoczywające ma energię spoczynkową $E_0 = mc^2$; w ruchu jego energia całkowita rośnie do $E = \gamma mc^2$.

Zadanie 1 — dylatacja czasu (mion)

Mion to nietrwała cząstka o czasie życia $\Delta t_0 = 2{,}2\ \mu\text{s}$ (mierzonym w spoczynku). Miony powstają w górnych warstwach atmosfery i pędzą ku Ziemi z prędkością $v = 0{,}99\,c$. Ile wynosi ich czas życia z punktu widzenia obserwatora na Ziemi?

Krok 1. Obliczamy czynnik Lorentza dla $v = 0{,}99\,c$, czyli $\tfrac{v^2}{c^2} = 0{,}99^2 = 0{,}9801$: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx \frac{1}{0{,}141} \approx 7{,}1$$

Krok 2. Czas życia mionu to czas własny $\Delta t_0$ (mierzony w układzie mionu). Obserwator na Ziemi mierzy czas $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$: $$\Delta t = 7{,}1 \cdot 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 15{,}6\ \mu\text{s}$$

Odpowiedź: dla obserwatora na Ziemi mion „żyje" około $15{,}6\ \mu\text{s}$ — ponad siedem razy dłużej niż w spoczynku. Dzięki dylatacji czasu miony zdążają dolecieć do powierzchni Ziemi, choć „na papierze" powinny rozpaść się znacznie wyżej. To realny, zmierzony efekt relatywistyczny.

Zadanie 2 — skrócenie długości

Rakieta ma długość spoczynkową $l_0 = 100\ \text{m}$ i leci względem obserwatora z prędkością $v = 0{,}8\,c$. Jaką długość rakiety zmierzy ten obserwator?

Krok 1. Obliczamy czynnik Lorentza dla $v = 0{,}8\,c$, czyli $\tfrac{v^2}{c^2} = 0{,}64$: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} \approx 1{,}667$$

Krok 2. Długość zmierzona przez obserwatora to $l = \tfrac{l_0}{\gamma}$: $$l = \frac{100\ \text{m}}{1{,}667} \approx 60\ \text{m}$$

Odpowiedź: obserwator zmierzy długość rakiety równą około $60\ \text{m}$. Sami astronauci na pokładzie mierzą pełne $100\ \text{m}$ — dla nich rakieta spoczywa.

Zadanie 3 — energia spoczynkowa (E = mc²)

Oblicz energię spoczynkową ciała o masie $m = 1\ \text{g} = 0{,}001\ \text{kg}$.

Krok 1. Podstawiamy do wzoru $E_0 = m c^2$, gdzie $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$: $$E_0 = 0{,}001 \cdot \left(3 \cdot 10^{8}\right)^2 = 0{,}001 \cdot 9 \cdot 10^{16}\ \text{J}$$

Krok 2. Liczymy: $$E_0 = 9 \cdot 10^{13}\ \text{J}$$

Odpowiedź: w jednym gramie masy „ukryte" jest $9 \cdot 10^{13}\ \text{J}$ energii — tyle, ile wyzwala kilkanaście tysięcy ton trotylu. To pokazuje, dlaczego reakcje jądrowe, w których w energię zamienia się choćby maleńki ułamek masy, uwalniają tak ogromne ilości energii.

Interaktywna symulacja — zegar świetlny i dylatacja czasu

Zmieniaj suwakiem prędkość zegara (w ułamkach prędkości światła). Obserwuj, jak przy większej prędkości impuls światła w ruchomym zegarze pokonuje coraz dłuższą, skośną drogę i jak coraz bardziej „spóźnia się" on względem zegara spoczywającego. Program na bieżąco wylicza czynnik Lorentza $\gamma$ i porównuje czasy obu zegarów:

Interaktywna symulacja — czynnik Lorentza

Przesuwaj suwak prędkości $v/c$ i śledź, jak zmienia się czynnik Lorentza $\gamma$ na wykresie. Zobaczysz, że dla małych prędkości $\gamma \approx 1$ (fizyka „newtonowska"), a przy zbliżaniu się do prędkości światła krzywa strzela ku nieskończoności. Program pokazuje też na żywo dylatację czasu, skrócenie długości i wzrost energii całkowitej:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Prędkości zawsze się dodają". Dla małych prędkości owszem, ale nigdy nie da się przekroczyć $c$. Światło z reflektorów pędzącej rakiety wciąż porusza się z prędkością $c$, a nie $c + v$.
2. Mylenie czasu własnego z czasem obserwatora. Czas własny $\Delta t_0$ mierzy zegar spoczywający względem zdarzenia; to zawsze najkrótszy zmierzony czas. Obserwator w ruchu mierzy czas dłuższy: $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$.
3. Odwracanie wzoru na skrócenie długości. Długość spoczynkowa $l_0$ jest największa. Obserwator w ruchu mierzy długość mniejszą: $l = \tfrac{l_0}{\gamma}$, a nie $l = \gamma\,l_0$.
4. „Efekty relatywistyczne są zawsze obecne, ale niewidoczne". One są obecne zawsze, lecz dla codziennych prędkości $\gamma$ jest tak bliskie 1, że są całkowicie pomijalne. Liczą się dopiero blisko $c$.
5. Skracanie wszystkich wymiarów. Skróceniu ulega tylko wymiar wzdłuż kierunku ruchu. Wymiary poprzeczne pozostają niezmienione.
6. Traktowanie $E = mc^2$ jako energii kinetycznej. $E_0 = mc^2$ to energia spoczynkowa — ciało ma ją nawet, gdy stoi. Energia kinetyczna to dopiero nadwyżka: $E_k = (\gamma - 1)mc^2$.
7. „Teoria względności obala mechanikę Newtona". Nie — ona ją uogólnia. Dla $v \ll c$ wszystkie wzory relatywistyczne przechodzą w znane wzory klasyczne (np. $E_k \to \tfrac{m v^2}{2}$).
8. Zapominanie o kwadracie w czynniku Lorentza. Pod pierwiastkiem jest $\tfrac{v^2}{c^2}$, a nie $\tfrac{v}{c}$. Przy $v = 0{,}8\,c$ liczymy $1 - 0{,}64 = 0{,}36$, a nie $1 - 0{,}8$.

Podsumowanie

• Postulaty: (I) prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych; (II) prędkość światła $c$ jest dla wszystkich taka sama.
• Względność jednoczesności: nie istnieje wspólne dla wszystkich „teraz" — jednoczesność zależy od układu odniesienia.
• Dylatacja czasu: ruchomy zegar chodzi wolniej — $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$, gdzie $\Delta t_0$ to czas własny.
• Skrócenie długości: ruchome ciało jest krótsze w kierunku ruchu — $l = \tfrac{l_0}{\gamma}$.
• Czynnik Lorentza: $\gamma = \tfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \ge 1$; bliski 1 dla małych prędkości, dąży do nieskończoności przy $v \to c$ — dlatego $c$ jest prędkością graniczną.
• Równoważność masy i energii: $E_0 = mc^2$ (energia spoczynkowa), $E = \gamma mc^2$ (energia całkowita), $E_k = (\gamma - 1)mc^2$ (relatywistyczna energia kinetyczna).
• Teoria względności uogólnia mechanikę Newtona — dla $v \ll c$ zawiera ją jako przypadek szczególny.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż maturalny quiz z fizyki relatywistycznej (poziom rozszerzony) — zadania obliczeniowe z jednostkami (czynnik Lorentza, dylatacja czasu, skrócenie długości, $E = mc^2$), część wieloetapowa, tak jak na arkuszu CKE: Fizyka relatywistyczna (poziom rozszerzony) — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Fizyka współczesna (wstęp) — podstawowe ujęcie fotonu, dualizmu i wstęp do teorii względności (klasa 1 LP).
• Fizyka atomowa i jądrowa (obliczenia) — energia wiązania i $E = mc^2$ w praktyce reakcji jądrowych (klasa 3 LR).
• Mechanika (zaawansowana) — zasada względności Galileusza, pęd i energia w ujęciu klasycznym (klasa 3 LR).
• Fale i optyka (zaawansowane) — światło jako fala i jego prędkość $c$ (klasa 3 LR).