Ciśnienie cieczy i gazów

Wstęp — dlaczego uszy bolą na dnie basenu?

Kiedy nurkujesz na dno głębokiego basenu, czujesz nieprzyjemny nacisk na uszy. Im głębiej, tym mocniej. A gdy trzymasz w wodzie piłkę i puścisz — wystrzeli w górę, jakby coś wypychało ją z wody. Za oba te zjawiska odpowiada ciśnienie w cieczach i gazach.

W tej lekcji połączymy trzy powiązane pomysły: czym jest ciśnienie, jak rośnie z głębokością i dlaczego jedne ciała pływają, a inne toną.

W tej lekcji dowiesz się:

• czym jest ciśnienie i dlaczego zależy od pola powierzchni ($p = \dfrac{F}{S}$),
• jak obliczyć ciśnienie hydrostatyczne w cieczy ($p = \rho \cdot g \cdot h$),
• na czym polega siła wyporu i prawo Archimedesa,
• kiedy ciało pływa, a kiedy tonie.

Ciśnienie — siła rozłożona na powierzchnię

Wbij pinezkę w korkową tablicę. Naciskasz palcem z niewielką siłą, a mimo to ostry czubek z łatwością wchodzi w korek. Dlaczego? Bo cała siła skupia się na maleńkiej powierzchni czubka. To jest istota ciśnienia.

Definicja. Ciśnienie to wielkość mówiąca, jak duża siła nacisku przypada na jednostkę powierzchni. Im mniejsza powierzchnia, tym większe ciśnienie przy tej samej sile.

$$p = \frac{F}{S}$$

Gdzie:

• $p$ — ciśnienie [Pa] (paskal),
• $F$ — siła nacisku prostopadła do powierzchni [N] (niuton),
• $S$ — pole powierzchni $[\text{m}^2]$ (metr kwadratowy).

Jednostką ciśnienia jest paskal: $1\,\text{Pa} = 1\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}$. To bardzo mała jednostka, dlatego często używamy hektopaskali ($1\,\text{hPa} = 100\,\text{Pa}$) albo kilopaskali ($1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$).

Rys. 1. Ta sama siła (ciężar człowieka) rozłożona na małą powierzchnię (buty) daje duże ciśnienie i zapadanie się w śnieg; rozłożona na dużą powierzchnię (narty) — małe ciśnienie.

Ciśnienie hydrostatyczne — nacisk słupa cieczy

W cieczy panuje ciśnienie, bo słup cieczy nad danym punktem ma swój ciężar i naciska w dół. Im głębiej, tym większy słup cieczy nad nami — i tym większe ciśnienie. Dlatego bolą uszy na dnie basenu.

Definicja. Ciśnienie hydrostatyczne to ciśnienie wywierane przez ciecz na skutek jej własnego ciężaru. Rośnie wraz z głębokością.

$$p = \rho \cdot g \cdot h$$

Gdzie:

• $p$ — ciśnienie hydrostatyczne [Pa] (paskal),
• $\rho$ — gęstość cieczy $\left[\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right]$,
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne, $g \approx 10\,\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$,
• $h$ — głębokość, czyli wysokość słupa cieczy nad danym punktem [m].

Zwróć uwagę na ważną rzecz: ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od kształtu naczynia ani od ilości cieczy — tylko od głębokości i gęstości cieczy. Na tej samej głębokości w wąskiej rurce i w szerokim jeziorze ciśnienie jest takie samo.

Rys. 2. Ciśnienie hydrostatyczne rośnie z głębokością — im głębiej, tym dłuższe strzałki nacisku. Na danej głębokości ciecz naciska jednakowo we wszystkich kierunkach.

Siła wyporu i prawo Archimedesa

Weź piłkę i wciśnij ją pod wodę — poczujesz, jak coś ją wypycha. To siła wyporu. Bierze się stąd, że ciśnienie na dolną ściankę zanurzonego ciała jest większe (bo głębiej) niż na górną. Różnica tych nacisków daje wypadkową skierowaną do góry.

Prawo Archimedesa. Na ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) działa siła wyporu skierowana pionowo do góry, równa co do wartości ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

$$F_w = \rho_{c} \cdot g \cdot V_{z}$$

Gdzie:

• $F_w$ — siła wyporu [N] (niuton),
• $\rho_{c}$ — gęstość cieczy (nie ciała!) $\left[\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right]$,
• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne, $g \approx 10\,\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$,
• $V_{z}$ — objętość zanurzonej części ciała $[\text{m}^3]$.

Rys. 3. Ciśnienie na dolną ściankę jest większe niż na górną — różnica daje siłę wyporu skierowaną w górę, przeciwną do siły ciężkości.

Kiedy ciało pływa, a kiedy tonie?

O losie zanurzonego ciała decyduje „przeciąganie liny" między dwiema siłami: ciężkości ($F_g$, w dół) i wyporu ($F_w$, w górę).

Ponieważ obie siły zależą od gęstości, warunek pływania można też zapisać prościej przez porównanie gęstości: ciało pływa, gdy jego gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy, a tonie, gdy jest większa. Dlatego stalowy statek z powietrzem w środku (mała średnia gęstość) pływa, a lita śruba (duża gęstość) tonie.

Zadanie krok po kroku

Nurek zszedł na głębokość $h = 5\,\text{m}$ w wodzie o gęstości $\rho = 1000\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Jakie ciśnienie hydrostatyczne działa na niego na tej głębokości? Przyjmij $g = 10\,\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$.

Krok 1. Wypisujemy dane: $$h = 5\,\text{m}, \quad \rho = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}, \quad g = 10\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}}, \quad p = ?$$

Krok 2. Zapisujemy wzór na ciśnienie hydrostatyczne: $$p = \rho \cdot g \cdot h$$

Krok 3. Podstawiamy dane: $$p = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10\,\tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 5\,\text{m} = 50\,000\,\text{Pa}$$

Krok 4. Zamieniamy na wygodniejszą jednostkę: $$p = 50\,000\,\text{Pa} = 50\,\text{kPa}$$

Odpowiedź: Na głębokości 5 m ciśnienie hydrostatyczne wynosi 50 000 Pa (50 kPa) — do tego dochodzi jeszcze ciśnienie atmosferyczne z powierzchni.

Zobacz siłę wyporu w działaniu

Zanurzaj ciało o różnej gęstości i obserwuj, jak zmieniają się siła wyporu i siła ciężkości oraz co decyduje o pływaniu lub tonięciu:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Ciśnienie hydrostatyczne zależy od ilości wody." Nie — zależy tylko od głębokości i gęstości cieczy, a nie od kształtu ani objętości naczynia.
2. „Siła wyporu zależy od gęstości ciała." Nie — we wzorze $F_w = \rho_c \cdot g \cdot V_z$ występuje gęstość cieczy, a nie ciała. Gęstość ciała decyduje dopiero o tym, czy ciało pływa, czy tonie.
3. „Cięższe ciała zawsze toną." Nie — decyduje porównanie gęstości ciała i cieczy, a nie sama masa. Ogromny statek pływa, mała śruba tonie.
4. „Duża siła zawsze daje duże ciśnienie." Niekoniecznie — ciśnienie to $p = \dfrac{F}{S}$, więc zależy też od powierzchni. Ta sama siła na dużej powierzchni daje małe ciśnienie.
5. „Na danej głębokości ciecz naciska tylko w dół." Nie — ciecz naciska we wszystkich kierunkach jednakowo (w górę, w dół i na boki).

Podsumowanie

• Ciśnienie to siła nacisku przypadająca na jednostkę powierzchni: $p = \dfrac{F}{S}$, jednostka paskal ($1\,\text{Pa} = 1\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}^2}$).
• Ciśnienie hydrostatyczne rośnie z głębokością: $p = \rho \cdot g \cdot h$ i nie zależy od kształtu naczynia.
• Na ciało w cieczy działa siła wyporu skierowana w górę, równa ciężarowi wypartej cieczy: $F_w = \rho_c \cdot g \cdot V_z$ (prawo Archimedesa).
• Ciało pływa, gdy $F_w > F_g$ (gęstość ciała mniejsza od gęstości cieczy), a tonie, gdy $F_w < F_g$.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś — ciśnienie $p = \dfrac{F}{S}$, ciśnienie hydrostatyczne $p = \rho \cdot g \cdot h$, siła wyporu i prawo Archimedesa oraz warunek pływania ciał: Ciśnienie cieczy i gazów — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Masa i gęstość — skąd bierze się gęstość, która decyduje o pływaniu.
• Ciśnienie cieczy — wprowadzenie do ciśnienia hydrostatycznego na poziomie klasy 5.
• Prawo Pascala — jak ciśnienie przenosi się w zamkniętej cieczy.