Masa i gęstość

Wstęp — kilogram waty czy kilogram żelaza?

To klasyczna zagadka: co waży więcej — kilogram waty czy kilogram żelaza? Odpowiedź brzmi: tyle samo! Oba mają masę jednego kilograma. A jednak worek waty jest ogromny, a kawałek żelaza o tej samej masie zmieści się w dłoni. Dlaczego?

Bo żelazo jest gęstsze od waty — w tej samej objętości mieści się o wiele więcej materii. Właśnie o tym jest ta lekcja.

W tej lekcji dowiesz się:

• czym jest masa i czym różni się od ciężaru,
• czym jest gęstość i jak ją obliczamy ze wzoru $\rho = \dfrac{m}{V}$,
• jak przeliczać jednostki gęstości ($\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ i $\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$),
• jak wyznaczyć gęstość dowolnego przedmiotu i dlaczego jedne ciała pływają, a inne toną.

Masa — ile jest materii

Masa mówi nam, ile materii zawiera dane ciało. Im więcej cząsteczek i im są cięższe, tym większa masa.

Definicja. Masa to miara ilości materii w ciele. Oznaczamy ją literą $m$, a jej podstawową jednostką jest kilogram (kg).

Masa nie zależy od miejsca — kilogram cukru na Ziemi, na Księżycu i w kosmosie to nadal ten sam kilogram. (To odróżnia masę od ciężaru, czyli siły, z jaką Ziemia przyciąga ciało — ciężar na Księżycu jest sześć razy mniejszy niż na Ziemi, choć masa się nie zmienia.)

Gęstość — jak ciasno upakowana jest materia

Wyobraź sobie dwa jednakowe pudełka: jedno wypełnione styropianem, drugie — piaskiem. Mają tę samą objętość, ale zupełnie inną masę. Piasek jest znacznie gęstszy.

Definicja. Gęstość to masa przypadająca na jednostkę objętości ciała. Mówi, jak ciasno „upakowana" jest w nim materia. Oznaczamy ją grecką literą $\rho$ (czyt. ro).

Rys. 1. Trzy bryły o tej samej objętości, ale różnej masie. Im gęstszy materiał, tym więcej materii mieści się w tym samym pudełku.

Wzór na gęstość

Gęstość obliczamy, dzieląc masę ciała przez jego objętość:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Gdzie:

• $\rho$ — gęstość $\left[\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right]$ (kilogram na metr sześcienny),
• $m$ — masa ciała [kg] (kilogram),
• $V$ — objętość ciała $[\text{m}^3]$ (metr sześcienny).

Ze wzoru możemy wyznaczyć również dwie pozostałe wielkości:

$$m = \rho \cdot V \qquad \text{oraz} \qquad V = \frac{m}{\rho}$$

Jednostki gęstości i ich przeliczanie

W fizyce używamy dwóch popularnych jednostek gęstości:

• $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ — jednostka podstawowa (układ SI),
• $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ — jednostka wygodna dla małych przedmiotów.

Przelicznik między nimi jest prosty:

$$1\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$

Na przykład gęstość wody to $1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, czyli $1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Oznacza to, że jeden litr wody (czyli $1000\,\text{cm}^3$) ma masę 1 kg.

Tabela gęstości wybranych substancji

Dlaczego jedne ciała pływają, a inne toną?

Tu tkwi klucz do zagadki stalowego statku! O tym, czy ciało pływa, decyduje porównanie jego gęstości z gęstością cieczy:

• gęstość ciała mniejsza niż wody → ciało pływa (np. drewno, lód, styropian),
• gęstość ciała większa niż wody → ciało tonie (np. żelazo, kamień).

Rys. 2. Ciała o gęstości mniejszej od wody (styropian, drewno) pływają; ciała gęstsze od wody (żelazo, kamień) toną.

A statek? Choć zrobiony jest ze stali, w środku ma mnóstwo powietrza. Jego średnia gęstość (stal + powietrze podzielone przez całą objętość kadłuba) jest mniejsza niż gęstość wody — dlatego pływa. Gdyby zalać go wodą, straciłby to powietrze i poszedłby na dno.

Jak wyznaczyć gęstość przedmiotu?

Żeby obliczyć gęstość, potrzebujemy masy i objętości.

• Masę mierzymy wagą.
• Objętość zależy od kształtu:
  • przedmiot regularny (np. prostopadłościan) — mierzymy wymiary linijką i liczymy objętość,
  • przedmiot nieregularny (np. kamień) — zanurzamy go w menzurce z wodą i odczytujemy, o ile podniósł się poziom wody. Ten przyrost objętości to objętość przedmiotu.

Rys. 3. Objętość nieregularnego kamienia wyznaczamy z przyrostu poziomu wody w menzurce po jego zanurzeniu.

Zadanie krok po kroku

Kostka metalu ma masę $m = 540\,\text{g}$ i objętość $V = 200\,\text{cm}^3$. Oblicz jej gęstość i sprawdź w tabeli, z jakiego metalu jest wykonana.

Krok 1. Wypisujemy dane: $$m = 540\,\text{g}, \quad V = 200\,\text{cm}^3, \quad \rho = ?$$

Krok 2. Zapisujemy wzór na gęstość: $$\rho = \frac{m}{V}$$

Krok 3. Podstawiamy dane: $$\rho = \frac{540\,\text{g}}{200\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$$

Krok 4. Porównujemy z tabelą: $2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ to gęstość aluminium.

Odpowiedź: Gęstość kostki wynosi $2{,}7\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ — to aluminium.

Sprawdź, co pływa, a co tonie

Wybieraj różne materiały i wrzucaj je do wody. Obserwuj, że o pływaniu decyduje porównanie gęstości ciała z gęstością wody:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Cięższe przedmioty zawsze toną." Nie — decyduje gęstość, nie masa. Ogromny pień drzewa (bardzo ciężki) pływa, a mała żelazna śrubka tonie.
2. „Masa i ciężar to to samo." Nie — masa [kg] to ilość materii, a ciężar [N] to siła przyciągania Ziemi. Na Księżycu masa się nie zmienia, a ciężar maleje.
3. „$1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ to tyle samo co $1\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$." Nie — trzeba pomnożyć przez 1000: $1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
4. „Gęstość zależy od wielkości przedmiotu." Nie — gęstość jest cechą materiału. Mały i duży kawałek żelaza mają tę samą gęstość.
5. „Statek pływa, bo jest pusty." Prawie — pływa, bo dzięki powietrzu w środku jego średnia gęstość jest mniejsza od gęstości wody.

Podsumowanie

• Masa ($m$, w kg) to ilość materii w ciele; nie zależy od miejsca w kosmosie.
• Gęstość ($\rho$) to masa przypadająca na jednostkę objętości: $\rho = \dfrac{m}{V}$.
• Jednostki: $\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ (SI) oraz $\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$; przelicznik $1\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000\,\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
• O pływaniu decyduje porównanie gęstości ciała z gęstością cieczy: gęstsze tonie, mniej gęste pływa.
• Objętość nieregularnego ciała wyznaczamy z przyrostu poziomu wody w menzurce.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś — wzór na gęstość $\rho = \dfrac{m}{V}$, przeliczanie jednostek $\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \leftrightarrow \tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, różnica między masą a ciężarem oraz warunek pływania: Masa i gęstość — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Prawo Hooke'a — poprzednia lekcja z działu mechaniki.
• Ciśnienie cieczy i gazów — gdzie gęstość pojawia się w ciśnieniu hydrostatycznym i sile wyporu.