Prawo Hooke'a

Wstęp — sprężyna, która „walczy" z tobą

Weź długopis z chowanym wkładem i naciśnij sprężynkę w środku. Im mocniej ją ściskasz, tym mocniej odpycha twój palec. Tak samo jest z gumką recepturką: im bardziej ją rozciągasz, tym trudniej rozciągać ją dalej. Skąd sprężyna „wie", jak mocno ma oddziaływać?

Okazuje się, że rządzi tym bardzo prosta reguła, odkryta ponad 350 lat temu przez angielskiego uczonego Roberta Hooke'a. Nazywamy ją prawem Hooke'a.

W tej lekcji dowiesz się:

• czym jest siła sprężystości i skąd się bierze,
• jak brzmi prawo Hooke'a i co oznacza wzór $F_s = k \cdot x$,
• czym jest stała sprężystości $k$ i od czego zależy,
• kiedy sprężyna przestaje słuchać prawa Hooke'a i nie wraca już do dawnego kształtu.

Siła sprężystości — przypomnienie

Kiedy rozciągasz sprężynę albo naciskasz na trampolinę, odkształcasz ją — czyli zmieniasz jej kształt. Ciało sprężyste „nie zgadza się" na to i próbuje wrócić do pierwotnej postaci. Pojawia się wtedy siła sprężystości.

Definicja. Siła sprężystości to siła, z jaką odkształcone ciało (np. sprężyna, gumka, trampolina) działa na to, co je odkształca, i dąży do przywrócenia pierwotnego kształtu.

Najważniejsza cecha siły sprężystości: jest ona zawsze skierowana przeciwnie do odkształcenia. Rozciągasz sprężynę w dół — ona ciągnie w górę. Ściskasz ją — ona się rozpycha.

Rys. 1. Im większą siłą rozciągamy sprężynę (więcej ciężarków), tym bardziej się ona wydłuża. Dwa razy większa siła → dwa razy większe wydłużenie.

Prawo Hooke'a

Robert Hooke zauważył, że wydłużenie sprężyny nie jest przypadkowe — rośnie równo z siłą. Gdy powiesimy jeden ciężarek, sprężyna wydłuży się o pewien odcinek. Gdy powiesimy dwa takie same ciężarki, wydłuży się dokładnie dwa razy bardziej. Trzy ciężarki — trzy razy bardziej.

Prawo Hooke'a. Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do wydłużenia (odkształcenia) ciała.

Zapisujemy to wzorem:

$$F_s = k \cdot x$$

Gdzie:

• $F_s$ — wartość siły sprężystości [N] (niuton),
• $k$ — stała sprężystości (współczynnik sprężystości) $\left[\dfrac{\text{N}}{\text{m}}\right]$ (niuton na metr),
• $x$ — wydłużenie, czyli o ile ciało się rozciągnęło (lub ściśnęło) [m] (metr).

Słowa „wprost proporcjonalna" oznaczają tu bardzo konkretną rzecz: jeśli $x$ wzrośnie 2 razy, to $F_s$ też wzrośnie 2 razy; jeśli $x$ wzrośnie 3 razy, to $F_s$ również 3 razy. Ich iloraz jest zawsze taki sam:

$$\frac{F_s}{x} = k = \text{const.}$$

Rys. 2. Wykres $F_s(x)$ dla sprężyny to linia prosta przechodząca przez początek układu — to graficzny „podpis" proporcjonalności. Im bardziej stroma prosta, tym większe $k$ (twardsza sprężyna).

Stała sprężystości $k$ — miara „twardości"

Współczynnik $k$ mówi nam, jak trudno rozciągnąć dany przedmiot. To swego rodzaju miara jego „twardości":

• duże $k$ → sprężyna twarda, trudna do rozciągnięcia (np. sprężyna w amortyzatorze samochodu),
• małe $k$ → sprężyna miękka, łatwa do rozciągnięcia (np. cienka sprężynka z długopisu).

Stała $k = \dfrac{F_s}{x}$ mówi, ile niutonów siły potrzeba, żeby rozciągnąć ciało o jeden metr. Na przykład $k = 200\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ znaczy: aby wydłużyć tę sprężynę o 1 metr, trzeba działać siłą 200 N (a żeby o 1 cm — sto razy mniejszą, czyli 2 N).

Kiedy prawo Hooke'a przestaje działać?

Prawo Hooke'a nie obowiązuje „w nieskończoność". Jeśli rozciągniesz sprężynę za mocno, przekroczysz tzw. granicę sprężystości — i sprężyna już nie wróci do dawnego kształtu. Zostanie trwale odkształcona (rozciągnięta na stałe), tak jak nadmiernie naciągnięta gumka, która robi się luźna i wiotka.

• Odkształcenie sprężyste — ciało wraca do pierwotnego kształtu po usunięciu siły. Tu działa prawo Hooke'a.
• Odkształcenie trwałe (plastyczne) — ciało pozostaje odkształcone na zawsze. Tu prawo Hooke'a już nie obowiązuje.

Rys. 3. Do granicy sprężystości wykres jest prostą — sprężyna wraca do formy. Po jej przekroczeniu ciało odkształca się trwale i prawo Hooke'a przestaje obowiązywać.

Przykłady z życia

Prawo Hooke'a i siła sprężystości są wszędzie wokół nas:

• Waga sprężynowa (siłomierz) — im cięższy przedmiot zawiesisz, tym bardziej rozciągnie się sprężyna wewnątrz. Wskazówka pokazuje siłę właśnie dzięki proporcjonalności $F_s = k \cdot x$.
• Amortyzatory w rowerze i samochodzie — sprężyny uginają się proporcjonalnie do nacisku i łagodzą wstrząsy na wybojach.
• Batut (trampolina) — im mocniej naciskasz siatkę, tym mocniej cię odbija.
• Ekspander do ćwiczeń — im bardziej rozciągasz gumę lub sprężynę, tym większą siłą musisz działać.

Zadanie krok po kroku

Sprężynę o stałej sprężystości $k = 50\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ rozciągnięto o $x = 0{,}2\,\text{m}$. Jaka siła sprężystości pojawiła się w sprężynie?

Krok 1. Wypisujemy dane i szukaną wielkość: $$k = 50\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}, \quad x = 0{,}2\,\text{m}, \quad F_s = ?$$

Krok 2. Zapisujemy prawo Hooke'a: $$F_s = k \cdot x$$

Krok 3. Podstawiamy dane: $$F_s = 50\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 10\,\text{N}$$

Odpowiedź: Siła sprężystości wynosi 10 N.

Sprawdź się: ile wyniesie wydłużenie tej samej sprężyny, jeśli rozciągniemy ją siłą $F_s = 25\,\text{N}$? Przekształć wzór: $x = \dfrac{F_s}{k} = \dfrac{25}{50} = 0{,}5\,\text{m}$.

Zobacz prawo Hooke'a w działaniu

Dodawaj ciężarki na sprężynę i obserwuj, jak rośnie jej wydłużenie oraz jak na wykresie $F(x)$ powstaje linia prosta. Zmień stałą sprężystości $k$ i zobacz, jak zmienia się nachylenie prostej:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Siła sprężystości zależy od masy sprężyny." Nie — zależy od jej wydłużenia $x$ i od stałej sprężystości $k$, a nie od tego, ile sprężyna sama waży.
2. „We wzorze $x$ to długość sprężyny." Nie — $x$ to wydłużenie, czyli o ile sprężyna się rozciągnęła w stosunku do stanu spoczynku, a nie jej całkowita długość.
3. „Prawo Hooke'a działa zawsze, niezależnie od siły." Nie — obowiązuje tylko do granicy sprężystości. Po jej przekroczeniu ciało odkształca się trwale.
4. „Stała $k$ jest taka sama dla każdej sprężyny." Nie — każda sprężyna ma własne $k$: twarde mają duże, miękkie małe.
5. „Jednostką $k$ jest niuton." Nie — jednostką $k$ jest niuton na metr $\left(\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\right)$, bo $k = \tfrac{F_s}{x}$.

Podsumowanie

• Siła sprężystości pojawia się w odkształconym ciele i dąży do przywrócenia pierwotnego kształtu; jest skierowana przeciwnie do odkształcenia.
• Prawo Hooke'a: siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do wydłużenia: $F_s = k \cdot x$.
• Stała sprężystości $k \left[\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\right]$ to miara „twardości" ciała — duże $k$ oznacza twardą sprężynę.
• Wykres $F_s(x)$ to linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.
• Prawo Hooke'a obowiązuje tylko do granicy sprężystości; po jej przekroczeniu następuje trwałe odkształcenie.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś — prawo Hooke'a $F_s = k \cdot x$, stała sprężystości i jej jednostka, proporcjonalność siły do wydłużenia oraz granica sprężystości: Prawo Hooke'a — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Siła sprężystości — wprowadzenie do odkształceń na poziomie klasy 5.
• Masa i gęstość — kolejna lekcja z działu mechaniki.