Fizyka atomowa i jądrowa (obliczenia)

Wstęp — mikroświat pod lupą obliczeń

Fizykę atomową i jądrową znasz już z wcześniejszych lekcji: wiesz, że atom ma jądro z protonów i neutronów oraz elektrony, że światło bywa „porcjami" energii — fotonami, i że jądra promieniotwórcze się rozpadają. Na poziomie rozszerzonym idziemy dalej: przechodzimy od opisu jakościowego do rachunków.

Będziemy liczyć energię fotonów, energię kinetyczną wybijanych elektronów, długości fal linii widmowych, energię wiązania jąder i liczbę jąder pozostałych po rozpadzie. Kluczowe są dwie stałe: stała Plancka i prędkość światła — to one łączą świat fal ze światem cząstek i energii z masą.

W tej lekcji przejdziemy kolejno przez:

1. foton i jego energię,
2. efekt fotoelektryczny — równanie Einsteina i obliczenia,
3. widma atomowe i poziomy energetyczne — model Bohra,
4. budowę jądra i izotopy,
5. deficyt masy i energię wiązania ($E = mc^2$),
6. rozpady α i β z bilansem liczb A i Z,
7. prawo rozpadu i czas połowicznego rozpadu,
8. rozszczepienie, reakcję łańcuchową i syntezę termojądrową.

Foton i energia fotonu

Światło (i każde promieniowanie elektromagnetyczne) przenosi energię w niepodzielnych porcjach zwanych fotonami (kwantami). To fundamentalna idea fizyki kwantowej: energia nie płynie w sposób ciągły, lecz „ziarnami".

Energia pojedynczego fotonu zależy tylko od częstotliwości promieniowania:

$$E = h\,f$$

Gdzie:

• $E$ — energia fotonu [J],
• $h$ — stała Plancka, $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$,
• $f$ — częstotliwość promieniowania [Hz].

Ponieważ dla fali $c = \lambda f$, energię fotonu wygodnie wyraża się też przez długość fali:

$$E = \frac{h\,c}{\lambda}$$

Gdzie $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ to prędkość światła, a $\lambda$ — długość fali [m]. Im krótsza fala (np. ultrafiolet, promieniowanie X), tym większa energia fotonu.

W mikroświecie dżul jest niewygodnie duży, więc energię podajemy w elektronowoltach:

$$1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$$

Elektronowolt to energia, jaką zyskuje elektron przyspieszony napięciem $1\ \text{V}$.

Rys. 1. Foton to porcja energii $E = hf$. Aby wybić elektron z metalu, foton musi mieć energię co najmniej równą pracy wyjścia — stąd istnieje częstotliwość graniczna.

Efekt fotoelektryczny

Efekt fotoelektryczny to wybijanie elektronów z powierzchni metalu przez padające światło. Doświadczenie pokazuje coś zaskakującego: o tym, czy elektron zostanie wybity, decyduje częstotliwość światła, a nie jego jasność. Poniżej pewnej częstotliwości elektrony nie są wybijane, choćby światło było bardzo intensywne.

Wyjaśnił to Albert Einstein: jeden foton oddaje całą swoją energię jednemu elektronowi. Część tej energii, praca wyjścia $W$, zużywa się na oderwanie elektronu od metalu, a reszta staje się jego energią kinetyczną. To równanie Einsteina dla efektu fotoelektrycznego:

$$h\,f = W + E_k$$

Gdzie:

• $h f$ — energia padającego fotonu [J],
• $W$ — praca wyjścia (energia potrzebna do oderwania elektronu) [J],
• $E_k$ — maksymalna energia kinetyczna wybitego elektronu [J].

Energię kinetyczną wybitego elektronu obliczamy więc jako:

$$E_k = h\,f - W$$

Elektron zostanie wybity tylko wtedy, gdy $hf \ge W$. Graniczny przypadek ($E_k = 0$) wyznacza częstotliwość graniczną:

$$f_{gr} = \frac{W}{h}$$

Gdzie $f_{gr}$ to najmniejsza częstotliwość zdolna wybić elektron [Hz]. Dla $f < f_{gr}$ zjawisko nie zachodzi niezależnie od jasności; dla $f > f_{gr}$ — im wyższa częstotliwość, tym większa energia kinetyczna elektronów.

Zapamiętaj: jasność światła zwiększa liczbę wybijanych elektronów, ale nie ich energię. Energię kinetyczną zwiększa tylko wyższa częstotliwość.

Widma atomowe i poziomy energetyczne

Elektrony w atomie mogą mieć tylko ściśle określone wartości energii — mówimy, że energia jest skwantowana. Te dozwolone wartości to poziomy energetyczne. Najniższy to stan podstawowy, wyższe to stany wzbudzone.

Gdy elektron przeskakuje z poziomu wyższego (o energii $E_2$) na niższy ($E_1$), atom emituje foton o energii równej różnicy poziomów:

$$h\,f = E_2 - E_1$$

Gdzie $E_2$ i $E_1$ to energie poziomów [J], a $hf$ — energia wyemitowanego fotonu. Dlatego każdy pierwiastek daje widmo liniowe — zestaw ostrych linii o ściśle określonych długościach fal, niczym „kod kreskowy" pierwiastka.

Dla atomu wodoru energie poziomów opisuje wzór modelu Bohra:

$$E_n = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$$

Gdzie $E_n$ to energia poziomu [eV], a $n = 1, 2, 3, \ldots$ to numer poziomu (liczba główna). Znak minus oznacza, że elektron jest związany — aby całkowicie oderwać go od atomu w stanie podstawowym (jonizacja), trzeba dostarczyć $13{,}6\ \text{eV}$.

Rys. 2. Poziomy energetyczne atomu wodoru. Przeskok elektronu w dół emituje foton o energii $hf = E_2 - E_1$. Przejścia na poziom drugi (seria Balmera) dają linie w świetle widzialnym.

Budowa jądra i izotopy

Jądro atomu składa się z nukleonów: dodatnich protonów i obojętnych neutronów. Opisują je dwie liczby:

• liczba atomowa $Z$ — liczba protonów (określa pierwiastek),
• liczba masowa $A$ — łączna liczba nukleonów.

Liczbę neutronów wyliczamy z prostej zależności:

$$N = A - Z$$

Gdzie $N$ to liczba neutronów, $A$ — liczba masowa, $Z$ — liczba atomowa. Jądro pierwiastka X zapisujemy symbolem z liczbą masową u góry i atomową u dołu:

$$^{A}_{Z}\text{X}$$

Izotopy to jądra tego samego pierwiastka (to samo $Z$) o różnej liczbie neutronów (różne $A$). Przykłady składu jąder:

Deficyt masy i energia wiązania

Oto jeden z najgłębszych wyników fizyki: masa jądra jest mniejsza niż suma mas tworzących je swobodnych nukleonów. Tę różnicę nazywamy deficytem masy $\Delta m$. Zgodnie z równoważnością masy i energii Einsteina, brakująca masa zamieniła się w energię wiązania — energię, którą trzeba dostarczyć, by rozerwać jądro na osobne nukleony.

Podstawą jest słynne równanie:

$$E = m\,c^2$$

Gdzie $E$ to energia [J], $m$ — masa [kg], $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Energię wiązania jądra liczymy więc jako:

$$E_w = \Delta m \cdot c^2$$

Gdzie $E_w$ to energia wiązania [J], a $\Delta m$ — deficyt masy [kg]. W praktyce masy jądrowe wyrażamy w atomowych jednostkach masy (u), a wygodny przelicznik to:

$$1\ \text{u} = 931{,}5\ \frac{\text{MeV}}{c^2}$$

Dzięki temu energię wiązania w megaelektronowoltach dostajemy, mnożąc deficyt masy w jednostkach u przez $931{,}5\ \text{MeV}$.

O trwałości jądra decyduje energia wiązania na jeden nukleon ($\tfrac{E_w}{A}$). Jest ona największa dla jąder o średniej masie (maksimum około żelaza), a mniejsza dla jąder bardzo lekkich i bardzo ciężkich. To wyjaśnia, skąd bierze się energia jądrowa: zarówno łączenie lekkich jąder (synteza), jak i rozbijanie ciężkich (rozszczepienie) prowadzi do jąder mocniej związanych — a nadwyżka energii się uwalnia.

Rys. 3. Masa jądra jest mniejsza od sumy mas nukleonów o deficyt masy $\Delta m$, a $E_w = \Delta m c^2$. Krzywa energii wiązania na nukleon ma maksimum przy żelazie — dlatego energię uwalniają zarówno synteza, jak i rozszczepienie.

Rozpady promieniotwórcze — α i β

Jądra niestabilne samorzutnie się rozpadają, emitując promieniowanie. Trzy podstawowe rodzaje różnią się przenikliwością i zachowaniem w polu magnetycznym:

• promieniowanie α — jądra helu (2 protony + 2 neutrony), mało przenikliwe (zatrzymuje je kartka),
• promieniowanie β — szybkie elektrony, bardziej przenikliwe (zatrzymuje je blacha aluminiowa),
• promieniowanie γ — fotony o bardzo dużej energii, najbardziej przenikliwe (osłabia je gruby ołów).

Każda reakcja jądrowa spełnia dwie zasady zachowania: sumy liczb masowych $A$ oraz sumy liczb atomowych $Z$ po obu stronach muszą być równe.

W rozpadzie α jądro traci cząstkę α, więc $A$ maleje o 4, a $Z$ o 2:

W rozpadzie β⁻ neutron zamienia się w proton, emitując elektron — $A$ się nie zmienia, a $Z$ rośnie o 1:

Sprawdź bilans: w rozpadzie α mamy $238 = 234 + 4$ oraz $92 = 90 + 2$; w rozpadzie β mamy $14 = 14 + 0$ oraz $6 = 7 + (-1)$. Zgadza się.

Rys. 4. W rozpadzie α liczba masowa maleje o 4, a atomowa o 2; w rozpadzie β⁻ liczba masowa się nie zmienia, a atomowa rośnie o 1. W obu zachowane są sumy $A$ i $Z$.

Prawo rozpadu i czas połowicznego rozpadu

Rozpad pojedynczego jądra jest zdarzeniem losowym — nie wiemy, kiedy nastąpi. Ale dla ogromnej liczby jąder obowiązuje ścisłe prawo rozpadu. Kluczową wielkością jest czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ — czas, po którym rozpada się średnio połowa jąder próbki.

Liczbę jąder pozostałych po czasie $t$ opisuje wzór:

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}}$$

Gdzie:

• $N$ — liczba jąder pozostałych po czasie $t$,
• $N_0$ — początkowa liczba jąder,
• $t$ — czas, jaki upłynął [s, lata itd.],
• $T_{1/2}$ — czas połowicznego rozpadu (w tej samej jednostce co $t$).

Po jednym $T_{1/2}$ zostaje $\tfrac{1}{2}$ jąder, po dwóch — $\tfrac{1}{4}$, po trzech — $\tfrac{1}{8}$ itd. Wykres liczby jąder w czasie to opadająca krzywa wykładnicza, którą łatwo odczytywać „po schodkach" połowicznych.

Ta zależność jest podstawą datowania izotopowego (np. węglem-14 w archeologii) i medycyny nuklearnej, gdzie dobiera się izotopy o odpowiednim $T_{1/2}$.

Rys. 5. Prawo rozpadu $N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$. Po każdym czasie połowicznego rozpadu liczba jąder maleje o połowę.

Rozszczepienie, reakcja łańcuchowa i synteza

Rozszczepienie to rozbicie ciężkiego jądra na dwa lżejsze. Jądro uranu-235 po pochłonięciu wolnego neutronu rozpada się na dwa mniejsze jądra i emituje kilka nowych neutronów oraz dużą energię:

Wyemitowane neutrony mogą rozszczepić kolejne jądra — powstaje reakcja łańcuchowa. W elektrowni jądrowej kontrolujemy jej tempo prętami pochłaniającymi neutrony, tak by na każde rozszczepienie przypadało średnio jedno kolejne (praca stabilna). W bombie reakcja jest lawinowa i niekontrolowana.

Synteza termojądrowa (fuzja) to łączenie lekkich jąder w cięższe. W jądrach gwiazd, w tym Słońca, wodór łączy się w hel:

$$4\ ^{1}\text{H} \rightarrow\ ^{4}\text{He} + \text{energia}$$

Powstałe jądro helu ma masę mniejszą niż cztery jądra wodoru — brakująca masa zamienia się w energię zgodnie z $E = mc^2$. Fuzja daje więcej energii na kilogram paliwa niż rozszczepienie i jest źródłem energii wszystkich gwiazd.

Rys. 6. Rozszczepienie ciężkiego jądra uranu wyzwala neutrony podtrzymujące reakcję łańcuchową; synteza lekkich jąder wodoru w hel zasila gwiazdy. W obu procesach nadwyżka energii pochodzi z ubytku masy ($E = mc^2$).

Zadanie 1 — efekt fotoelektryczny

Na powierzchnię sodu (praca wyjścia $W = 2{,}3\ \text{eV}$) pada światło o długości fali $\lambda = 400\ \text{nm}$. Czy zajdzie efekt fotoelektryczny? Jeśli tak, oblicz maksymalną energię kinetyczną wybitych elektronów.

Krok 1. Obliczamy energię fotonu ze wzoru $E = \tfrac{hc}{\lambda}$ (podstawiamy $\lambda = 400 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$): $$E = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{400 \cdot 10^{-9}} = \frac{1{,}989 \cdot 10^{-25}}{4 \cdot 10^{-7}} \approx 4{,}97 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$$

Krok 2. Zamieniamy energię fotonu na elektronowolty (dzielimy przez $1{,}6 \cdot 10^{-19}$): $$E = \frac{4{,}97 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 3{,}1\ \text{eV}$$

Krok 3. Ponieważ $3{,}1\ \text{eV} > 2{,}3\ \text{eV}$, foton ma dość energii — efekt zachodzi. Energię kinetyczną liczymy z równania Einsteina: $$E_k = E - W = 3{,}1 - 2{,}3 = 0{,}8\ \text{eV}$$

Odpowiedź: efekt fotoelektryczny zajdzie, a maksymalna energia kinetyczna elektronów wynosi około $0{,}8\ \text{eV}$ (czyli $1{,}3 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$).

Zadanie 2 — energia wiązania jądra helu

Deficyt masy jądra helu-4 wynosi $\Delta m = 0{,}0304\ \text{u}$. Oblicz energię wiązania tego jądra oraz energię wiązania przypadającą na jeden nukleon.

Krok 1. Korzystamy z przelicznika $1\ \text{u} = 931{,}5\ \text{MeV}/c^2$, więc energię wiązania dostajemy, mnożąc deficyt masy przez $931{,}5\ \text{MeV}$: $$E_w = 0{,}0304 \cdot 931{,}5\ \text{MeV} \approx 28{,}3\ \text{MeV}$$

Krok 2. Jądro helu ma $A = 4$ nukleony, więc energia wiązania na nukleon to: $$\frac{E_w}{A} = \frac{28{,}3\ \text{MeV}}{4} \approx 7{,}1\ \text{MeV}$$

Odpowiedź: energia wiązania jądra helu wynosi około $28{,}3\ \text{MeV}$, czyli około $7{,}1\ \text{MeV}$ na nukleon — to bardzo trwałe jądro.

Zadanie 3 — prawo rozpadu

Próbka izotopu promieniotwórczego zawiera $N_0 = 8 \cdot 10^{6}$ jąder. Czas połowicznego rozpadu wynosi $T_{1/2} = 5\ \text{lat}$. Ile jąder pozostanie po $15$ latach?

Krok 1. Obliczamy, ile okresów połowicznego rozpadu upłynęło: $$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$$

Krok 2. Podstawiamy do prawa rozpadu: $$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 8 \cdot 10^{6} \cdot \frac{1}{8}$$

Krok 3. Liczymy: $$N = 1 \cdot 10^{6} = 10^{6}$$

Odpowiedź: po $15$ latach (trzech okresach połowicznego rozpadu) pozostanie $10^{6}$ jąder, czyli osiem razy mniej niż na początku.

Interaktywna symulacja — efekt fotoelektryczny

Zmieniaj suwakiem częstotliwość (barwę) padającego światła. Poniżej częstotliwości granicznej fotony odbijają się i elektrony nie są wybijane — niezależnie od jasności. Powyżej progu program liczy energię fotonu $E = hf$, porównuje ją z pracą wyjścia $W$ i pokazuje energię kinetyczną $E_k = hf - W$ wybitych elektronów:

Interaktywna symulacja — rozpad promieniotwórczy

Ustaw początkową liczbę jąder i czas połowicznego rozpadu, a następnie uruchom symulację. Obserwuj, jak jądra rozpadają się losowo, a liczba pozostałych jąder na wykresie podąża za teoretyczną krzywą $N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Jaśniejsze światło = szybsze elektrony". Nieprawda. Jasność zwiększa liczbę wybijanych elektronów, a nie ich energię kinetyczną. Energię podnosi tylko wyższa częstotliwość światła.
2. Zapominanie o pracy wyjścia. Energia kinetyczna elektronu to $E_k = hf - W$, a nie samo $hf$. Foton najpierw „płaci" pracę wyjścia.
3. Mylenie długości fali z energią. Krótsza fala oznacza większą energię fotonu ($E = \tfrac{hc}{\lambda}$) — zależność jest odwrotna.
4. Błędny bilans w reakcjach jądrowych. Zawsze sprawdzaj, czy sumy liczb masowych $A$ i sumy liczb atomowych $Z$ po obu stronach są równe. To najczęstsze źródło błędnych odpowiedzi.
5. Mylenie rozpadów α i β. W rozpadzie α: $A$ maleje o 4, $Z$ o 2. W rozpadzie β⁻: $A$ bez zmian, $Z$ rośnie o 1 (neutron → proton + elektron).
6. „Po dwóch $T_{1/2}$ nic nie zostaje". Nie — zostaje $\tfrac{1}{4}$ próbki. Rozpad jest wykładniczy: każdy $T_{1/2}$ zmniejsza liczbę jąder o połowę, nigdy do zera.
7. Pomijanie zamiany jednostek. Długości fal światła są w nanometrach, masy jądrowe w jednostkach u — przed podstawieniem zamień je na jednostki układu SI albo użyj właściwych przeliczników ($1\ \text{eV}$, $1\ \text{u}$).
8. Mylenie rozszczepienia z syntezą. Rozszczepienie to rozbijanie jąder ciężkich (uran); synteza to łączenie jąder lekkich (wodór). Obie uwalniają energię, bo prowadzą do jąder mocniej związanych.

Podsumowanie

• Foton: $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$; krótsza fala → większa energia; $1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.
• Efekt fotoelektryczny: $hf = W + E_k$, więc $E_k = hf - W$; częstotliwość graniczna $f_{gr} = \tfrac{W}{h}$.
• Poziomy energetyczne: emisja fotonu $hf = E_2 - E_1$; dla wodoru $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$; widmo liniowe to „kod kreskowy" pierwiastka.
• Jądro: $N = A - Z$; izotopy to jądra o tym samym $Z$, różnym $A$.
• Energia wiązania: $E = mc^2$, $E_w = \Delta m c^2$; $1\ \text{u} = 931{,}5\ \tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; maksimum energii wiązania na nukleon przy żelazie.
• Rozpady: α ($A-4$, $Z-2$) i β⁻ ($A$ bez zmian, $Z+1$); zawsze zachowane sumy $A$ i $Z$.
• Prawo rozpadu: $N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$; po każdym $T_{1/2}$ zostaje połowa jąder.
• Rozszczepienie i synteza: rozbijanie jąder ciężkich (uran, reakcja łańcuchowa) i łączenie lekkich (wodór → hel w gwiazdach) — energia z ubytku masy.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż maturalny quiz z fizyki atomowej i jądrowej (poziom rozszerzony) — zadania obliczeniowe z jednostkami (energia fotonu, efekt fotoelektryczny, model Bohra, energia wiązania, prawo rozpadu), część wieloetapowa, tak jak na arkuszu CKE: Fizyka atomowa i jądrowa (poziom rozszerzony) — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Fizyka atomowa — podstawowe ujęcie fotonu, efektu fotoelektrycznego i widm (klasa 2 LP).
• Fizyka jądrowa — budowa jądra, promieniotwórczość i reakcje jądrowe (klasa 2 LP).
• Fizyka współczesna (wstęp) — kwant, foton i wstęp do teorii względności (klasa 1 LP).
• Fale i optyka (zaawansowane) — poprzedni rozdział poziomu rozszerzonego; światło jako fala i wzór $c = \lambda f$.
• Elektromagnetyzm (zaawansowany) — pole i siły działające na naładowane cząstki (klasa 3 LR).