Mechanika (zaawansowana)

Wstęp — mechanika na poziomie rozszerzonym

Mechanikę poznałeś już w szkole podstawowej i w klasie 1 liceum. Teraz spojrzymy na nią głębiej i bardziej ilościowo — tak, jak wymaga tego matura rozszerzona. Trzy rzeczy będą tu inne niż wcześniej:

1. Wielkości traktujemy wektorowo. Prędkość, przyspieszenie, siła i pęd mają nie tylko wartość, ale i kierunek oraz zwrot. Dodajemy je i rozkładamy na składowe.
2. Wzory wyprowadzamy i przekształcamy, a nie tylko podstawiamy do gotowych. Rozumiemy, skąd się biorą.
3. Łączymy różne działy — jedno zadanie potrafi łączyć kinematykę, dynamikę, pęd i energię naraz.

Ta lekcja jest kompletnym przeglądem mechaniki rozszerzonej. Przejdziemy kolejno przez:

1. kinematykę wektorową i rzuty,
2. ruch po okręgu (jednostajny i niejednostajny),
3. dynamikę — zasady Newtona i drugą zasadę w postaci pędowej,
4. pęd i jego zachowanie oraz zderzenia,
5. opory ruchu — tarcie i równię pochyłą,
6. układy inercjalne i nieinercjalne oraz zasadę względności Galileusza,
7. pracę, energię, moc i sprawność,
8. grawitację jako siłę dośrodkową i ruch satelitów.

Kinematyka wektorowa

Ruch opisujemy zawsze względem wybranego układu odniesienia. Podstawowe wielkości kinematyczne to:

• położenie $\vec{r}$ — wektor od początku układu do ciała,
• przemieszczenie $\Delta\vec{r}$ — wektor łączący położenie początkowe z końcowym (to nie to samo co droga $s$, czyli długość toru!),
• prędkość $\vec{v}$ i przyspieszenie $\vec{a}$.

Prędkość to tempo zmiany położenia, a przyspieszenie — tempo zmiany prędkości:

$$\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}, \qquad \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\vec{v}$ — prędkość (wektor) [m/s],
• $\vec{a}$ — przyspieszenie (wektor) [m/s²],
• $\Delta\vec{r}$ — przemieszczenie [m],
• $\Delta\vec{v}$ — zmiana prędkości [m/s],
• $\Delta t$ — czas, w którym zaszła zmiana [s].

Dla ruchu jednostajnie zmiennego (stałe $\vec{a}$) obowiązują znane równania — tutaj w jednym wymiarze:

$$v = v_0 + a t, \qquad s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}, \qquad v^2 = v_0^2 + 2 a s$$

Gdzie:

• $v_0$ — prędkość początkowa [m/s],
• $v$ — prędkość po czasie $t$ [m/s],
• $a$ — przyspieszenie [m/s²],
• $s$ — droga (przy stałym zwrocie ruchu równa wartości przemieszczenia) [m],
• $t$ — czas [s].

Kluczowa idea rozszerzenia: ruch dwuwymiarowy rozkładamy na dwa niezależne ruchy wzdłuż osi $x$ i $y$. To zasada niezależności ruchów — fundament analizy rzutów.

Pole pod wykresem

Na maturze rozszerzonej często korzystamy z interpretacji geometrycznej wykresów:

• pole pod wykresem $v(t)$ = droga przebyta w danym czasie,
• pole pod wykresem $a(t)$ = zmiana prędkości,
• nachylenie (pochodna) wykresu $x(t)$ = prędkość, a nachylenie $v(t)$ = przyspieszenie.

Rzuty

Rzut to ruch ciała w polu grawitacyjnym, gdy pomijamy opór powietrza. Działa wtedy tylko stałe przyspieszenie ziemskie $g$ skierowane pionowo w dół.

Rzut poziomy

Ciało wyrzucone poziomo z prędkością $v_0$ z wysokości $h$ wykonuje jednocześnie:

• ruch jednostajny w poziomie (oś $x$) — bo w poziomie nie działa żadna siła,
• spadek swobodny w pionie (oś $y$) — z przyspieszeniem $g$.

$$x = v_0 t, \qquad y = \frac{g t^2}{2}$$

Czas spadku zależy tylko od wysokości (nie od $v_0$!):

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Składowe prędkości i jej wartość w dowolnej chwili:

$$v_x = v_0, \qquad v_y = g t, \qquad v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Gdzie:

• $x$, $y$ — współrzędne poziomą i pionową [m],
• $v_0$ — prędkość początkowa (pozioma) [m/s],
• $g$ — przyspieszenie ziemskie ($g \approx 9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$),
• $h$ — wysokość rzutu [m],
• $v_x$, $v_y$ — składowa pozioma i pionowa prędkości [m/s],
• $t$ — czas [s].

Rzut ukośny

Przy rzucie pod kątem $\alpha$ do poziomu z prędkością $v_0$ rozkładamy prędkość początkową na składowe:

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha, \qquad v_{0y} = v_0 \sin\alpha$$

Tor ruchu jest parabolą. Najważniejsze wielkości (dla rzutu z poziomu na ten sam poziom):

$$t_c = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}, \qquad Z = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$$

Gdzie:

• $v_{0x}$, $v_{0y}$ — składowa pozioma i pionowa prędkości początkowej [m/s],
• $\alpha$ — kąt rzutu do poziomu [°],
• $t_c$ — całkowity czas lotu [s],
• $H$ — maksymalna wysokość [m],
• $Z$ — zasięg (odległość pozioma) [m].

Ze wzoru na zasięg wynika, że maksymalny zasięg uzyskujemy dla kąta $\alpha = 45°$ (bo wtedy $\sin 2\alpha = \sin 90° = 1$). Dwa kąty dopełniające się do $90°$ (np. $30°$ i $60°$) dają ten sam zasięg.

Rys. 1. Rzut poziomy jako złożenie ruchu jednostajnego i spadku swobodnego oraz rzut ukośny z torem parabolicznym, składowymi prędkości, wysokością maksymalną $H$ i zasięgiem $Z$.

Ruch po okręgu

W ruchu po okręgu wygodnie jest używać wielkości kątowych. Podstawowe pojęcia:

• okres $T$ — czas jednego pełnego obiegu [s],
• częstotliwość $f$ — liczba obiegów na sekundę [Hz],
• prędkość kątowa $\omega$ — tempo zmiany kąta [rad/s].

$$T = \frac{1}{f}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \qquad v = \omega r$$

Nawet gdy ciało porusza się ze stałą wartością prędkości (ruch jednostajny po okręgu), jego prędkość jako wektor ciągle zmienia kierunek. Dlatego istnieje przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka okręgu:

$$a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

Gdzie:

• $T$ — okres obiegu [s],
• $f$ — częstotliwość [Hz],
• $\omega$ — prędkość kątowa [rad/s],
• $v$ — prędkość liniowa (styczna do okręgu) [m/s],
• $r$ — promień okręgu [m],
• $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe [m/s²].

W ruchu niejednostajnym po okręgu zmienia się także wartość prędkości. Pojawia się wtedy dodatkowo przyspieszenie styczne $a_s$, a przyspieszenie całkowite jest sumą wektorową:

$$a = \sqrt{a_d^2 + a_s^2}$$

Gdzie $a_s = \tfrac{\Delta v}{\Delta t}$ — przyspieszenie styczne, odpowiadające za zmianę wartości prędkości.

Rys. 2. Ruch jednostajny po okręgu: prędkość $\vec{v}$ jest zawsze styczna do toru, a przyspieszenie dośrodkowe $\vec{a}_d$ skierowane do środka. Wektor prędkości zmienia kierunek, dlatego istnieje przyspieszenie mimo stałej wartości $v$.

Dynamika — zasady Newtona

Dynamika odpowiada na pytanie: dlaczego ciała poruszają się tak, a nie inaczej. Odpowiedź dają trzy zasady Newtona.

I zasada (zasada bezwładności). Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły się równoważą ($\vec{F}_\text{wyp} = 0$), to ciało pozostaje w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada. Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej i odwrotnie proporcjonalne do masy:

$$\vec{F}_\text{wyp} = m \vec{a}$$

III zasada (akcja–reakcja). Gdy ciało A działa na ciało B siłą $\vec{F}$, to ciało B działa na A siłą $-\vec{F}$ — równą co do wartości, przeciwnie skierowaną, przyłożoną do innego ciała.

Gdzie:

• $\vec{F}_\text{wyp}$ — siła wypadkowa (suma wektorowa wszystkich sił) [N],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $\vec{a}$ — przyspieszenie [m/s²].

Druga zasada w postaci pędowej

Newton pierwotnie sformułował drugą zasadę ogólniej — przez pęd. Pęd ciała to:

$$\vec{p} = m \vec{v}$$

Druga zasada mówi wtedy, że siła wypadkowa równa się tempu zmiany pędu:

$$\vec{F}_\text{wyp} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$$

Gdzie:

• $\vec{p}$ — pęd (wektor) [kg·m/s],
• $\Delta\vec{p}$ — zmiana pędu [kg·m/s],
• $\Delta t$ — czas działania siły [s].

Iloczyn $\vec{F}\,\Delta t$ nazywamy popędem siły — jest on równy zmianie pędu ($\vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$). To wyjaśnia, dlaczego poduszki powietrzne i zginanie nóg przy lądowaniu chronią przed urazem: wydłużają czas $\Delta t$, w którym pęd spada do zera, więc zmniejszają działającą siłę.

Pęd i jego zachowanie. Zderzenia

Jeśli układ ciał jest izolowany (siły zewnętrzne się równoważą), to jego całkowity pęd $\vec{p}_c$ jest stały — taki sam przed oddziaływaniem i po nim:

$$\vec{p}_c = \sum_i m_i \vec{v}_i = \text{const.}$$

To zasada zachowania pędu — jedno z najważniejszych praw fizyki. Wynika wprost z III zasady Newtona i obowiązuje zawsze, nawet gdy energia mechaniczna nie jest zachowana.

Rozróżniamy dwa graniczne rodzaje zderzeń ciał:

Dla zderzenia niesprężystego dwóch ciał, które po zderzeniu poruszają się razem z prędkością $u$:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\, u$$

Dla zderzenia sprężystego obowiązują jednocześnie dwa równania — zachowanie pędu i zachowanie energii kinetycznej:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2}$$

Gdzie:

• $m_1$, $m_2$ — masy zderzających się ciał [kg],
• $v_1$, $v_2$ — prędkości przed zderzeniem [m/s],
• $v_1'$, $v_2'$ — prędkości po zderzeniu sprężystym [m/s],
• $u$ — wspólna prędkość po zderzeniu niesprężystym [m/s].

Zasada zachowania pędu tłumaczy też odrzut: gdy armata wystrzeliwuje pocisk do przodu, sama cofa się do tyłu tak, aby całkowity pęd pozostał zerowy. Na tej samej zasadzie działa rakieta.

Rys. 3. Zasada zachowania pędu: pęd całkowity jest taki sam przed i po zderzeniu. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna, w niesprężystym — nie. Odrzut armaty to zachowanie pędu z prędkości początkowej równej zeru.

Opory ruchu — tarcie i równia pochyła

W rzeczywistości ruch zawsze spowalniają opory: opór ośrodka (powietrza, wody) oraz tarcie między stykającymi się powierzchniami.

Rozróżniamy tarcie statyczne (dopóki ciało nie ruszy) i tarcie kinetyczne (gdy ciało się już ślizga):

$$T_s \le \mu_s N, \qquad T_k = \mu_k N$$

Gdzie:

• $T_s$ — siła tarcia statycznego (przyjmuje wartość od zera do maksimum) [N],
• $T_k$ — siła tarcia kinetycznego [N],
• $\mu_s$, $\mu_k$ — współczynnik tarcia statycznego i kinetycznego (liczby bez jednostki, zwykle $\mu_s > \mu_k$),
• $N$ — siła nacisku (reakcja podłoża, prostopadła do powierzchni) [N].

Równia pochyła

Ciało na równi pochyłej o kącie nachylenia $\alpha$ jest przykładem, w którym rozkładamy siłę ciężkości na składowe — wzdłuż równi i prostopadle do niej. Składowa równoległa ściąga ciało w dół równi:

$$F_{\parallel} = m g \sin\alpha$$

a składowa prostopadła dociska ciało do powierzchni (jest równa naciskowi $N$):

$$F_{\perp} = m g \cos\alpha, \qquad N = F_{\perp}$$

Gdy ciało zsuwa się z tarciem, jego przyspieszenie wzdłuż równi wynosi:

$$a = g (\sin\alpha - \mu_k \cos\alpha)$$

Gdzie:

• $F_{\parallel}$ — składowa siły ciężkości równoległa do równi [N],
• $F_{\perp}$ — składowa prostopadła do równi (równa naciskowi $N$) [N],
• $\alpha$ — kąt nachylenia równi [°],
• $\mu_k$ — współczynnik tarcia kinetycznego,
• $g$ — przyspieszenie ziemskie [m/s²].

Ciekawostka wykorzystywana w doświadczeniach: ciało zaczyna się zsuwać, gdy $\tan\alpha = \mu_s$. Mierząc kąt, przy którym ruch się rozpoczyna, wyznaczamy współczynnik tarcia statycznego.

Rys. 4. Rozkład siły ciężkości na równi pochyłej: składowa równoległa $mg\sin\alpha$ ściąga ciało w dół, prostopadła $mg\cos\alpha$ decyduje o nacisku (a więc i o tarciu). Tarcie $\vec{T}$ jest skierowane przeciwnie do ruchu.

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układ inercjalny to taki, w którym obowiązuje I zasada dynamiki — ciało bez sił porusza się jednostajnie prostoliniowo. Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym prostoliniowym też jest inercjalny.

Zasada względności Galileusza mówi, że we wszystkich układach inercjalnych prawa mechaniki są takie same — żadnym doświadczeniem mechanicznym nie odróżnisz spoczynku od jednostajnego ruchu. Dlatego w jednostajnie jadącym pociągu piłka spada tak samo jak na peronie.

Układ nieinercjalny to układ przyspieszający (np. hamujący autobus, wirująca karuzela). W takim układzie pojawiają się siły bezwładności (siły pozorne), które nie mają źródła w oddziaływaniu z innym ciałem:

$$\vec{F}_b = -m \vec{a}_u$$

Gdzie:

• $\vec{F}_b$ — siła bezwładności [N],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $\vec{a}_u$ — przyspieszenie układu odniesienia [m/s²].

To dlatego w hamującym autobusie „wyrzuca" nas do przodu, a na karuzeli „odpycha" na zewnątrz (siła odśrodkowa jest siłą bezwładności w wirującym układzie).

Praca, energia, moc, sprawność

Praca wykonana przez stałą siłę to iloczyn składowej siły wzdłuż przemieszczenia i drogi:

$$W = F s \cos\alpha$$

Gdzie:

• $W$ — praca [J] (dżul),
• $F$ — wartość siły [N],
• $s$ — droga [m],
• $\alpha$ — kąt między siłą a przemieszczeniem [°].

Gdy siła jest prostopadła do ruchu ($\alpha = 90°$), praca jest zerowa — dlatego siła dośrodkowa nie wykonuje pracy, a energia kinetyczna w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała. Gdy siła jest zmienna, praca równa się polu pod wykresem $F(s)$.

Energia kinetyczna i potencjalna (grawitacyjna) to:

$$E_k = \frac{m v^2}{2}, \qquad E_p = m g h$$

Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej: praca siły wypadkowej równa się zmianie energii kinetycznej ciała:

$$W_\text{wyp} = \Delta E_k = \frac{m v^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2}$$

Gdy działają tylko siły zachowawcze (grawitacja, sprężystość), zachowana jest energia mechaniczna:

$$E_c = E_k + E_p = \text{const.}$$

Moc to tempo wykonywania pracy, a dla stałej siły — iloczyn siły i prędkości:

$$P = \frac{W}{t} = F v$$

Sprawność urządzenia to stosunek pracy (energii) użytecznej do dostarczonej (zwykle podawany w procentach po pomnożeniu przez 100):

$$\eta = \frac{W_u}{W_d}$$

Gdzie:

• $E_k$ — energia kinetyczna [J],
• $E_p$ — energia potencjalna grawitacji [J],
• $h$ — wysokość nad poziomem odniesienia [m],
• $E_c$ — całkowita energia mechaniczna [J],
• $P$ — moc [W] (wat),
• $\eta$ — sprawność (bez jednostki lub w %),
• $W_u$ — praca (energia) użyteczna [J],
• $W_d$ — praca (energia) dostarczona [J].

Grawitacja jako siła dośrodkowa. Ruch satelitów

Prawo powszechnego ciążenia Newtona mówi, że dwa ciała przyciągają się siłą:

$$F = G \frac{M m}{r^2}$$

Gdzie:

• $F$ — siła grawitacji [N],
• $G$ — stała grawitacji ($G \approx 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$),
• $M$, $m$ — masy ciał [kg],
• $r$ — odległość między środkami ciał [m].

Dla satelity na orbicie kołowej to właśnie grawitacja pełni rolę siły dośrodkowej — nic nie „trzyma" satelity poza przyciąganiem planety. Przyrównujemy więc siłę grawitacji do siły dośrodkowej:

$$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

Po skróceniu masy satelity $m$ i przekształceniu otrzymujemy prędkość orbitalną:

$$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$

Tuż nad powierzchnią Ziemi ($r \approx R_Z$) daje to pierwszą prędkość kosmiczną $v_I \approx 7{,}9\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$ — minimalną prędkość, by okrążać Ziemię po orbicie. Zauważ ważną rzecz: prędkość orbitalna nie zależy od masy satelity — dlatego astronauta i stacja kosmiczna krążą tak samo.

Stan nieważkości i przeciążenia

Stan nieważkości panuje wtedy, gdy jedyną działającą siłą jest grawitacja, a ciało swobodnie spada (np. astronauta na orbicie — stacja i astronauta spadają ku Ziemi z tym samym przyspieszeniem, więc nie naciskają na siebie). Ciało nie jest wtedy pozbawione grawitacji — po prostu nic go nie podpiera.

Przeciążenie to sytuacja odwrotna — gdy siła nacisku (reakcja podłoża) jest większa niż zwykły ciężar, np. przy starcie rakiety lub w windzie ruszającej w górę. Mierzymy je współczynnikiem przeciążenia $k = \tfrac{N}{mg}$.

Rys. 5. Na orbicie kołowej siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej: $G\tfrac{Mm}{r^2} = \tfrac{mv^2}{r}$, skąd prędkość orbitalna $v = \sqrt{\tfrac{GM}{r}}$. „Armata Newtona" pokazuje, że orbita to po prostu ciągły spadek „obok" Ziemi.

Zadanie 1 — rzut ukośny

Piłkę wyrzucono z poziomu ziemi pod kątem $\alpha = 30°$ z prędkością $v_0 = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz czas lotu, maksymalną wysokość i zasięg. Przyjmij $g = 10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Krok 1. Składowe prędkości początkowej ($\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 30° \approx 0{,}87$): $$v_{0x} = v_0\cos\alpha = 20 \cdot 0{,}87 \approx 17{,}3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \qquad v_{0y} = v_0\sin\alpha = 20 \cdot 0{,}5 = 10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 2. Czas lotu: $$t_c = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{2 \cdot 10}{10} = 2\ \text{s}$$

Krok 3. Maksymalna wysokość: $$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{20^2 \cdot 0{,}5^2}{2\cdot 10} = \frac{400 \cdot 0{,}25}{20} = 5\ \text{m}$$

Krok 4. Zasięg ($\sin 60° \approx 0{,}87$): $$Z = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{400 \cdot 0{,}87}{10} \approx 34{,}6\ \text{m}$$

Odpowiedź: czas lotu wynosi $2\ \text{s}$, maksymalna wysokość $5\ \text{m}$, a zasięg około $34{,}6\ \text{m}$.

Zadanie 2 — zderzenie niesprężyste

Wózek o masie $m_1 = 2\ \text{kg}$ jedzie z prędkością $v_1 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ i zderza się z nieruchomym wózkiem $m_2 = 4\ \text{kg}$. Po zderzeniu wózki jadą razem. Oblicz ich wspólną prędkość i sprawdź, ile energii kinetycznej „zniknęło".

Krok 1. Z zasady zachowania pędu ($v_2 = 0$): $$m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\, u \quad \Rightarrow \quad u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 3}{6} = 1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Krok 2. Energia kinetyczna przed zderzeniem: $$E_\text{przed} = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9\ \text{J}$$

Krok 3. Energia kinetyczna po zderzeniu: $$E_\text{po} = \frac{(m_1+m_2)\, u^2}{2} = \frac{6 \cdot 1^2}{2} = 3\ \text{J}$$

Odpowiedź: wózki jadą razem z prędkością $1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Pęd jest zachowany, ale energia kinetyczna zmalała z $9\ \text{J}$ do $3\ \text{J}$ — $6\ \text{J}$ zamieniło się w ciepło i odkształcenie. To cecha zderzenia niesprężystego.

Zadanie 3 — prędkość orbitalna satelity

Oblicz prędkość satelity krążącego tuż nad powierzchnią Ziemi. Przyjmij $M_Z = 6 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R_Z = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}$, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$.

Krok 1. Korzystamy ze wzoru na prędkość orbitalną (dla $r = R_Z$): $$v = \sqrt{\frac{G M_Z}{R_Z}}$$

Krok 2. Podstawiamy dane: $$v = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6{,}4 \cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{6{,}4 \cdot 10^6}} = \sqrt{6{,}25 \cdot 10^{7}}$$

Krok 3. Obliczamy pierwiastek: $$v \approx 7{,}9 \cdot 10^3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7{,}9\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: pierwsza prędkość kosmiczna wynosi około $7{,}9\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$. Zwróć uwagę, że masa satelity się skróciła — wynik jej nie zależy.

Interaktywna symulacja — rzut ukośny

Ustaw suwakami prędkość początkową $v_0$ i kąt rzutu $\alpha$. Obserwuj tor paraboliczny, składowe prędkości oraz obliczane na żywo: czas lotu, maksymalną wysokość i zasięg. Sprawdź, że największy zasięg wypada dla $45°$, a kąty $30°$ i $60°$ dają ten sam zasięg:

Interaktywna symulacja — zderzenia i zachowanie pędu

Ustaw masy i prędkości dwóch wózków i przełącz rodzaj zderzenia (sprężyste / niesprężyste). Obserwuj, jak pęd całkowity jest zawsze zachowany, a energia kinetyczna — tylko w zderzeniu sprężystym:

Typowe błędy — uważaj!

1. Mylenie drogi z przemieszczeniem. Droga $s$ to długość toru (skalar), przemieszczenie $\Delta\vec{r}$ to wektor od startu do mety. Dla ruchu po zamkniętej pętli przemieszczenie jest zerowe, a droga nie.
2. „Czas spadku w rzucie poziomym zależy od prędkości". Nie — zależy tylko od wysokości ($t = \sqrt{2h/g}$). Kula wystrzelona poziomo i upuszczona z tej samej wysokości spadają jednocześnie.
3. „W ruchu jednostajnym po okręgu nie ma przyspieszenia". Jest — dośrodkowe, bo zmienia się kierunek prędkości. Zerowe jest tylko przyspieszenie styczne.
4. Mylenie masy z ciężarem. Masa [kg] jest miarą bezwładności i jest taka sama wszędzie; ciężar $F_g = mg$ [N] to siła i zależy od $g$.
5. „Siła odśrodkowa działa na ciało na zakręcie". W układzie inercjalnym na ciało działa siła dośrodkowa (do środka). Siła odśrodkowa to siła bezwładności — pojawia się dopiero w nieinercjalnym, wirującym układzie.
6. Zapominanie o zachowaniu pędu w zderzeniach niesprężystych. Pęd jest zachowany zawsze (układ izolowany), nawet gdy energia kinetyczna maleje. Nie myl tych dwóch praw.
7. Rozkład sił na równi „na oko". Składowa ściągająca to $mg\sin\alpha$, a dociskająca $mg\cos\alpha$ — nie odwrotnie. Dla małego kąta ciało prawie nie zsuwa się (małe $\sin\alpha$), ale mocno dociska ($\cos\alpha$ bliskie 1).
8. „W stanie nieważkości nie ma grawitacji". Grawitacja jest — to ona utrzymuje stację na orbicie. Nieważkość bierze się stąd, że wszystko spada razem, więc nic nikogo nie podpiera.

Podsumowanie

• Kinematyka wektorowa: ruch 2D rozkładamy na niezależne ruchy wzdłuż osi. Pole pod $v(t)$ to droga.
• Rzuty: rzut poziomy = ruch jednostajny + spadek swobodny ($t = \sqrt{2h/g}$); rzut ukośny ma tor paraboliczny, maksymalny zasięg dla $45°$: $Z = \tfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$.
• Ruch po okręgu: $\omega = 2\pi f$, $v = \omega r$, przyspieszenie dośrodkowe $a_d = \tfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$ skierowane do środka.
• Dynamika: siła wypadkowa $\vec{F} = m\vec{a}$, ogólnie $\vec{F} = \tfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$; popęd siły równa się zmianie pędu.
• Pęd: $\vec{p} = m\vec{v}$; w układzie izolowanym zachowany. Zderzenia sprężyste zachowują energię, niesprężyste — nie.
• Opory ruchu: $T_k = \mu_k N$; na równi $F_{\parallel} = mg\sin\alpha$, $F_{\perp} = mg\cos\alpha$.
• Układy odniesienia: w inercjalnych obowiązuje zasada względności Galileusza; w nieinercjalnych pojawiają się siły bezwładności $\vec{F}_b = -m\vec{a}_u$.
• Energia: $E_k = \tfrac{mv^2}{2}$, $E_p = mgh$, $E_c = \text{const.}$ przy siłach zachowawczych; $P = Fv$; sprawność $\eta = \tfrac{W_u}{W_d}$.
• Grawitacja i satelity: grawitacja jako siła dośrodkowa daje $v = \sqrt{\tfrac{GM}{r}}$ (niezależnie od masy satelity); stan nieważkości = swobodny spadek.

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż quiz i sprawdź, ile zapamiętałeś: Quizy — mechanika.

Dalsza lektura

• Energia i pęd — podstawowe ujęcie pracy, energii i pędu (klasa 1 LP).
• Grawitacja i astronomia — grawitacja, orbity i prędkości kosmiczne bez rozszerzonego aparatu.
• Kinematyka: rzuty — rzut poziomy i ukośny na poziomie podstawowym.
• Dynamika: siła dośrodkowa — ruch po okręgu i siła dośrodkowa.