Termodynamika (zaawansowana)

Wstęp — termodynamika na poziomie rozszerzonym

Zjawiska cieplne poznałeś już w szkole podstawowej i w klasie 1 liceum: wiesz, czym jest temperatura, że ciepło płynie od ciała cieplejszego do chłodniejszego, i że lód topnieje w stałej temperaturze. Teraz spojrzymy na to głębiej i bardziej ilościowo — tak, jak wymaga tego matura rozszerzona.

Termodynamika to dział fizyki o energii cieplnej i jej przemianach. Jej siła bierze się z jednego pomysłu: cała makroskopowa „ciepłota" ciała to w istocie ruch jego cząsteczek. Połączenie tego mikroskopowego obrazu z zasadą zachowania energii daje nam potężne narzędzie — od obliczania, ile energii potrzeba na zagotowanie wody, po zrozumienie, dlaczego silnik samochodu nigdy nie zamieni całego paliwa w ruch.

W tej lekcji przejdziemy kolejno przez:

1. kinetyczno-molekularny model materii i temperaturę bezwzględną,
2. energię wewnętrzną ciała,
3. ciepło i pracę jako dwa sposoby przekazu energii,
4. pierwszą zasadę termodynamiki,
5. ciepło właściwe, bilans cieplny i ciepło przemian fazowych,
6. rozszerzalność cieplną (liniową i objętościową) oraz anomalię wody,
7. gaz doskonały i przemiany gazowe (z pracą jako polem pod wykresem $p(V)$),
8. silniki cieplne, sprawność i drugą zasadę termodynamiki.

Kinetyczno-molekularny model materii i temperatura

Cała termodynamika opiera się na założeniu, że materia zbudowana jest z ogromnej liczby cząsteczek będących w nieustannym, chaotycznym ruchu (ruch cieplny). Im szybciej poruszają się cząsteczki, tym „gorętsze" jest ciało.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej pojedynczej cząsteczki. To kluczowa idea rozszerzenia — temperatura nie mówi, ile jest energii w całym ciele, tylko jak energia przypada „na jedną cząsteczkę":

$$\overline{E_k} \sim T$$

Dlatego w fizyce posługujemy się temperaturą bezwzględną (w kelwinach), a nie stopniami Celsjusza:

$$T = t + 273{,}15$$

Gdzie:

• $T$ — temperatura bezwzględna [K] (kelwin),
• $t$ — temperatura w skali Celsjusza [°C],
• $\overline{E_k}$ — średnia energia kinetyczna cząsteczki [J].

Skala Kelvina zaczyna się od zera bezwzględnego ($0\ \text{K} = -273{,}15\ °\text{C}$) — temperatury, w której ustaje ruch cieplny cząsteczek i której nie da się osiągnąć. Zauważ ważną konsekwencję: różnica temperatur jest taka sama w obu skalach ($\Delta T = \Delta t$), bo obie mają jednakowej wielkości stopnie.

Rys. 1. Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek. Im wyższa temperatura, tym szybciej poruszają się cząsteczki. Skala bezwzględna (Kelvina) startuje od zera bezwzględnego, w którym ruch cieplny zamiera.

Energia wewnętrzna

Energia wewnętrzna $U$ ciała to suma energii wszystkich jego cząsteczek — ich energii kinetycznej (ruch) oraz energii potencjalnej (oddziaływania między cząsteczkami).

W odróżnieniu od temperatury energia wewnętrzna zależy też od liczby cząsteczek. Szklanka wrzątku i wanna letniej wody mogą mieć podobną energię wewnętrzną, choć wrzątek ma wyższą temperaturę — bo w wannie cząsteczek jest znacznie więcej.

Energię wewnętrzną ciała można zmienić na dwa sposoby:

• dostarczając (lub odbierając) ciepło $Q$,
• wykonując nad ciałem (lub przez ciało) pracę $W$.

To prowadzi nas wprost do najważniejszego prawa termodynamiki.

Ciepło i praca — dwa sposoby przekazu energii

To rozróżnienie jest sednem termodynamiki, więc zatrzymajmy się na nim.

• Ciepło $Q$ to energia przekazywana na skutek różnicy temperatur — chaotycznie, „od cząsteczki do cząsteczki". Płynie zawsze od ciała cieplejszego do chłodniejszego.
• Praca $W$ to energia przekazywana w sposób uporządkowany, przez działanie siły na drodze — np. gdy tłok spręża gaz albo gdy pocieramy dłonie.

Oba są sposobami przekazu energii, nie zaś jej „rodzajami". Nie mówimy „ciało ma dużo ciepła" — ciało ma energię wewnętrzną, a ciepło to energia w trakcie przepływu. To częsty punkt na maturze.

Jednostką ciepła i pracy jest ten sam dżul [J], bo obie wielkości mierzą energię.

Pierwsza zasada termodynamiki

Pierwsza zasada termodynamiki to zasada zachowania energii zastosowana do zjawisk cieplnych. Mówi ona, że zmiana energii wewnętrznej ciała równa się sumie dostarczonego ciepła i wykonanej nad ciałem pracy:

$$\Delta U = Q + W$$

Gdzie (w tej konwencji „skupionej na ciele"):

• $\Delta U$ — zmiana energii wewnętrznej ciała [J],
• $Q$ — ciepło dostarczone do ciała ($Q > 0$) lub oddane ($Q < 0$) [J],
• $W$ — praca wykonana nad ciałem ($W > 0$, np. sprężanie gazu) lub przez ciało ($W < 0$, np. rozprężanie) [J].

Uwaga o znakach. Trzymaj się jednej konwencji. My przyjmujemy: dodatnie jest to, co zwiększa energię wewnętrzną ciała (dopływ ciepła, sprężanie). Gdy gaz sam się rozpręża i „popycha" tłok — wykonuje pracę kosztem swojej energii, więc dla ciała $W < 0$.

Kilka wniosków, które warto od razu zapamiętać:

• W procesie izotermicznym gazu doskonałego $\Delta U = 0$ (bo $T = \text{const.}$), więc $Q = -W$ — całe dostarczone ciepło zamienia się w pracę rozprężania.
• W procesie adiabatycznym (bez wymiany ciepła, $Q = 0$) mamy $\Delta U = W$ — sprężając gaz szybko, ogrzewamy go samą pracą (tak działa pompka do roweru, która się nagrzewa).

Rys. 2. Pierwsza zasada termodynamiki: energię wewnętrzną gazu można zwiększyć na dwa sposoby — dostarczając ciepło $Q$ albo wykonując nad nim pracę $W$ (sprężanie). $\Delta U = Q + W$ to zasada zachowania energii dla zjawisk cieplnych.

Ciepło właściwe i bilans cieplny

Aby ogrzać ciało (bez zmiany stanu skupienia), trzeba dostarczyć ciepło proporcjonalne do masy i do przyrostu temperatury:

$$Q = m c \Delta T$$

Gdzie:

• $Q$ — ciepło potrzebne do ogrzania (lub oddane przy stygnięciu) [J],
• $m$ — masa ciała [kg],
• $c$ — ciepło właściwe substancji $\left[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\right]$,
• $\Delta T$ — przyrost temperatury [K] (równy przyrostowi w °C).

Ciepło właściwe to ilość energii potrzebna, by ogrzać $1\ \text{kg}$ substancji o $1\ \text{K}$. Woda ma wyjątkowo duże ciepło właściwe ($c \approx 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$) — trudno ją ogrzać i trudno ją ostudzić. To dlatego morze łagodzi klimat wybrzeży.

Bilans cieplny

Gdy zetkniemy dwa ciała o różnych temperaturach w izolacji cieplnej, ciepło oddane przez ciało cieplejsze równa się ciepłu pobranemu przez chłodniejsze (zasada bilansu cieplnego — to znów zachowanie energii):

$$Q_\text{oddane} = Q_\text{pobrane}$$

$$m_1 c_1 (T_1 - T_k) = m_2 c_2 (T_k - T_2)$$

Gdzie $T_k$ to wspólna temperatura końcowa, a $T_1 > T_2$ to temperatury początkowe. Z tego równania wyznaczamy $T_k$ w zadaniach z mieszaniem cieczy.

Ciepło przemian fazowych

Podczas przemiany fazowej (topnienia, wrzenia) temperatura ciała nie zmienia się, mimo dostarczania ciepła. Dostarczana energia idzie w całości na rozrywanie wiązań między cząsteczkami, a nie na przyspieszanie ich ruchu — dlatego temperatura stoi w miejscu.

$$Q = m L$$

Gdzie:

• $Q$ — ciepło przemiany fazowej [J],
• $m$ — masa substancji zmieniającej stan [kg],
• $L$ — ciepło przemiany $\left[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}\right]$: ciepło topnienia $L_t$ (dla wody $\approx 334\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$) lub ciepło parowania $L_p$ (dla wody $\approx 2260\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$).

W zadaniach z ogrzewaniem lodu do pary łączymy oba wzory: liczymy osobno etapy ogrzewania (nachylone odcinki, $Q = mc\Delta T$) i osobno przemiany (płaskie „półki", $Q = mL$), a potem je sumujemy.

Rys. 3. Krzywa ogrzewania wody. Odcinki nachylone to ogrzewanie ($Q = mc\Delta T$) — ich nachylenie zależy od ciepła właściwego. Płaskie „półki" to topnienie i wrzenie ($Q = mL$) — temperatura stoi w miejscu, choć wciąż dostarczamy energię.

Rozszerzalność cieplna

Ogrzewane ciała zwykle zwiększają swoje rozmiary, bo szybciej drgające cząsteczki oddalają się od siebie średnio bardziej.

Rozszerzalność liniowa ciał stałych — przyrost długości jest proporcjonalny do długości początkowej i do przyrostu temperatury:

$$\Delta l = \alpha\, l_0\, \Delta T$$

Gdzie:

• $\Delta l$ — przyrost długości [m],
• $\alpha$ — współczynnik rozszerzalności liniowej $\left[\tfrac{1}{\text{K}}\right]$,
• $l_0$ — długość początkowa [m],
• $\Delta T$ — przyrost temperatury [K].

Rozszerzalność objętościowa (ciecze i gazy, a także ciała stałe w trzech wymiarach):

$$\Delta V = \beta\, V_0\, \Delta T$$

Gdzie $\beta$ to współczynnik rozszerzalności objętościowej (dla ciał stałych w przybliżeniu $\beta \approx 3\alpha$), a $V_0$ — objętość początkowa.

Rozszerzalność cieplna to nie ciekawostka — inżynierowie zostawiają szczeliny dylatacyjne w mostach i torach, a rurociągi wyposażają w kompensatory, bo inaczej latem uległyby wygięciu.

Anomalna rozszerzalność wody

Woda jest wyjątkiem. Ochładzana kurczy się tylko do $4\ °\text{C}$ — w tej temperaturze ma największą gęstość. Poniżej $4\ °\text{C}$ znów się rozszerza, a zamarzając (lód) staje się jeszcze mniej gęsta niż ciekła woda. Dlatego lód pływa, a zbiorniki zamarzają od góry: cieplejsza, gęstsza woda opada na dno, gdzie ryby przeżywają zimę. Gdyby woda zachowywała się „normalnie", jeziora zamarzałyby od dołu i życie w nich by wymarło.

Rys. 4. Rozszerzalność cieplna: ciała stałe wydłużają się o $\Delta l = \alpha l_0 \Delta T$ (stąd szczeliny dylatacyjne). Woda jest anomalią — największą gęstość ma w $4\ °\text{C}$, a lód pływa, dzięki czemu zbiorniki zamarzają od góry.

Gaz doskonały i przemiany gazowe

Gaz opisujemy trzema wielkościami: ciśnieniem $p$, objętością $V$ i temperaturą $T$. Dla gazu doskonałego (model: cząsteczki punktowe, brak oddziaływań poza zderzeniami) wiąże je równanie stanu gazu doskonałego (Clapeyrona):

$$p V = n R T$$

Gdzie:

• $p$ — ciśnienie [Pa],
• $V$ — objętość [m³],
• $n$ — liczba moli gazu [mol],
• $R$ — uniwersalna stała gazowa ($R \approx 8{,}31\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$),
• $T$ — temperatura bezwzględna [K].

Dla ustalonej ilości gazu ($n = \text{const.}$) wygodna jest postać łącząca dwa stany:

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Analizujemy trzy szczególne przemiany gazowe, w których jedna z wielkości jest stała:

Praca gazu jako pole pod wykresem p(V)

Na maturze rozszerzonej często korzystamy z interpretacji geometrycznej: praca wykonana przez gaz równa się polu pod wykresem $p(V)$. Gdy gaz się rozpręża (rośnie $V$), wykonuje pracę dodatnią (kosztem energii wewnętrznej lub dostarczanego ciepła); gdy jest sprężany — praca jest nad nim wykonywana.

Dla przemiany izobarycznej ($p = \text{const.}$) pole to prostokąt, więc:

$$W = p\, \Delta V$$

Gdzie $\Delta V$ to zmiana objętości. W przemianie izochorycznej ($\Delta V = 0$) gaz nie wykonuje pracy — całe dostarczone ciepło zwiększa energię wewnętrzną.

Rys. 5. Przemiany gazowe na wykresie $p(V)$: izoterma (hiperbola), izobara (pozioma) i izochora (pionowa). Praca gazu to pole pod wykresem $p(V)$ — dla izobary prostokąt $W = p\,\Delta V$.

Silniki cieplne, sprawność i druga zasada termodynamiki

Silnik cieplny zamienia ciepło w pracę mechaniczną. Pobiera ciepło $Q_g$ ze źródła gorącego (spalanie paliwa), część zamienia w pracę $W$, a resztę $Q_o$ oddaje do chłodnicy (np. otoczenia):

$$W = Q_g - Q_o$$

Sprawność silnika to stosunek wykonanej pracy do pobranego ciepła (zwykle podawana w procentach):

$$\eta = \frac{W}{Q_g} = \frac{Q_g - Q_o}{Q_g} = 1 - \frac{Q_o}{Q_g}$$

Gdzie:

• $\eta$ — sprawność (bez jednostki lub w %),
• $W$ — praca użyteczna [J],
• $Q_g$ — ciepło pobrane ze źródła gorącego [J],
• $Q_o$ — ciepło oddane do chłodnicy [J].

Kluczowa obserwacja: zawsze $Q_o > 0$ — nie da się oddać zero ciepła. Dlatego sprawność każdego silnika cieplnego jest mniejsza od 100%. To nie kwestia niedoskonałości technologii, lecz fundamentalne prawo.

Druga zasada termodynamiki ujmuje to ogólniej. W jednym z sformułowań: nie istnieje proces, którego jedynym skutkiem byłaby zamiana pobranego ciepła w całości na pracę. Równoważnie: ciepło samorzutnie płynie tylko od ciała cieplejszego do chłodniejszego, nigdy odwrotnie (bez wykonania pracy — tak działa lodówka). Procesy cieplne mają kierunek: rozbita szklanka sama się nie skleja, a kropla atramentu rozpływa się w wodzie, ale nie zbiera z powrotem. Miarą tego „nieodwracalnego bałaganu" jest entropia — w układzie izolowanym może tylko rosnąć.

Rys. 6. Silnik cieplny: pobiera ciepło $Q_g$ ze źródła gorącego, zamienia część w pracę $W$, a resztę $Q_o$ oddaje do chłodnicy. Sprawność $\eta = 1 - \tfrac{Q_o}{Q_g}$ jest zawsze mniejsza od 100% — tak mówi druga zasada termodynamiki.

Zadanie 1 — bilans cieplny z przemianą fazową

Do $200\ \text{g}$ wody o temperaturze $20\ °\text{C}$ wrzucono kostkę lodu o masie $50\ \text{g}$ i temperaturze $0\ °\text{C}$. Czy cały lód się stopi? Przyjmij $c_w = 4200\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, $L_t = 334\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

Krok 1. Ciepło potrzebne na stopienie całego lodu: $$Q_\text{top} = m_l L_t = 0{,}05 \cdot 334\,000 = 16\,700\ \text{J}$$

Krok 2. Ciepło, jakie może oddać woda, stygnąc od $20\ °\text{C}$ do $0\ °\text{C}$: $$Q_\text{woda} = m_w c_w \Delta T = 0{,}2 \cdot 4200 \cdot 20 = 16\,800\ \text{J}$$

Krok 3. Porównujemy: $Q_\text{woda} = 16\,800\ \text{J} > Q_\text{top} = 16\,700\ \text{J}$, więc energii wystarczy — cały lód się stopi, a pozostałe $100\ \text{J}$ nieznacznie podniosą temperaturę mieszaniny nieco powyżej $0\ °\text{C}$.

Odpowiedź: cały lód się stopi; temperatura końcowa jest bliska $0\ °\text{C}$.

Zadanie 2 — przemiana izobaryczna gazu

Gaz o objętości $V_1 = 2\ \text{dm}^3$ ogrzano pod stałym ciśnieniem $p = 100\ \text{kPa}$ od $T_1 = 300\ \text{K}$ do $T_2 = 450\ \text{K}$. Oblicz objętość końcową i pracę wykonaną przez gaz.

Krok 1. Przemiana izobaryczna, więc $\tfrac{V_1}{T_1} = \tfrac{V_2}{T_2}$: $$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot \frac{450}{300} = 3\ \text{dm}^3$$

Krok 2. Praca gazu przy stałym ciśnieniu (uwaga na jednostki: $1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$): $$W = p\,\Delta V = 100\,000 \cdot (3 - 2)\cdot 10^{-3} = 100\,000 \cdot 10^{-3} = 100\ \text{J}$$

Odpowiedź: objętość wzrosła do $3\ \text{dm}^3$, a gaz wykonał pracę $100\ \text{J}$ (rozprężając się i „popychając" tłok).

Zadanie 3 — sprawność silnika cieplnego

Silnik w każdym cyklu pobiera ze źródła gorącego $Q_g = 800\ \text{J}$, a do chłodnicy oddaje $Q_o = 600\ \text{J}$. Oblicz pracę użyteczną i sprawność silnika.

Krok 1. Praca użyteczna z zasady zachowania energii: $$W = Q_g - Q_o = 800 - 600 = 200\ \text{J}$$

Krok 2. Sprawność: $$\eta = \frac{W}{Q_g} = \frac{200}{800} = 0{,}25$$

Czyli sprawność wynosi 25% (mnożymy przez 100).

Odpowiedź: silnik wykonuje $200\ \text{J}$ pracy na cykl, a jego sprawność wynosi 25%. Aż 75% pobranej energii ucieka do chłodnicy — to typowe dla silników cieplnych.

Interaktywna symulacja — przemiany gazowe

Wybierz rodzaj przemiany (izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna) i przesuwaj suwakiem. Obserwuj tłok z cząsteczkami gazu oraz punkt wędrujący po wykresie $p(V)$. Zobacz, jak w przemianie izotermicznej iloczyn $pV$ pozostaje stały (hiperbola), w izobarycznej rośnie objętość przy stałym ciśnieniu, a w izochorycznej rośnie ciśnienie przy stałej objętości:

Interaktywna symulacja — krzywa ogrzewania

Ogrzewaj substancję stałą mocą i obserwuj, jak temperatura rośnie na odcinkach (ogrzewanie, $Q = mc\Delta T$) i zatrzymuje się na „półkach" (topnienie i wrzenie, $Q = mL$). Ustaw suwakiem moc grzałki i zobacz, że im mniejsze ciepło właściwe, tym szybciej rośnie temperatura:

Typowe błędy — uważaj!

1. „Ciało ma dużo ciepła". Ciało ma energię wewnętrzną. Ciepło to energia w trakcie przepływu wywołanego różnicą temperatur. Podobnie praca — to sposób przekazu energii, nie jej zapas.
2. Mylenie temperatury z energią wewnętrzną. Wysoka temperatura ≠ dużo energii. Iskra ma $1000\ °\text{C}$, ale znikomą energię wewnętrzną (mało cząsteczek); wanna letniej wody ma niższą temperaturę, lecz ogromną energię wewnętrzną.
3. Liczenie w stopniach Celsjusza tam, gdzie trzeba kelwinów. W równaniu gazu ($pV = nRT$, $\tfrac{p_1V_1}{T_1} = \tfrac{p_2V_2}{T_2}$) temperatura musi być w kelwinach. W $Q = mc\Delta T$ wolno użyć °C, bo tam liczy się różnica ($\Delta T = \Delta t$).
4. „Podczas topnienia temperatura rośnie, bo grzejemy". Nie — podczas przemiany fazowej temperatura jest stała, mimo dostarczania ciepła. Energia idzie na rozrywanie wiązań ($Q = mL$), nie na przyspieszanie cząsteczek.
5. Pomijanie ciepła przemiany w bilansie. Ogrzewając lód do pary, trzeba dodać osobno etapy ogrzewania ($mc\Delta T$) i przemiany ($mL$). Sama woda „od lodu do pary" ma dwie duże „półki".
6. „Rozszerzalność wody jest jak innych cieczy". Woda jest anomalią: między $0\ °\text{C}$ a $4\ °\text{C}$ ochładzana się rozszerza, a lód jest lżejszy od wody. To dlatego lód pływa.
7. „Da się zbudować silnik o sprawności 100%". Nie — druga zasada termodynamiki tego zakazuje. Część ciepła zawsze musi trafić do chłodnicy ($Q_o > 0$), więc $\eta < 1$.
8. Znak pracy w I zasadzie. Ustal konwencję i się jej trzymaj. Gdy gaz się rozpręża, wykonuje pracę „na zewnątrz" — jego energia wewnętrzna z tego tytułu maleje.

Podsumowanie

• Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek; w fizyce używamy skali bezwzględnej $T = t + 273{,}15$ [K].
• Energia wewnętrzna $U$ to suma energii wszystkich cząsteczek; zmieniamy ją, dostarczając ciepło lub wykonując pracę.
• I zasada termodynamiki: $\Delta U = Q + W$ — zasada zachowania energii dla zjawisk cieplnych.
• Ogrzewanie: $Q = mc\Delta T$; bilans cieplny: $Q_\text{oddane} = Q_\text{pobrane}$.
• Przemiany fazowe: $Q = mL$, temperatura stała podczas topnienia i wrzenia.
• Rozszerzalność cieplna: liniowa $\Delta l = \alpha l_0 \Delta T$, objętościowa $\Delta V = \beta V_0 \Delta T$; woda ma anomalię (maks. gęstość w $4\ °\text{C}$).
• Gaz doskonały: $pV = nRT$; dla stałej ilości $\tfrac{p_1V_1}{T_1} = \tfrac{p_2V_2}{T_2}$; przemiany izotermiczna/izobaryczna/izochoryczna. Praca gazu = pole pod $p(V)$; izobarycznie $W = p\Delta V$.
• Silnik cieplny: $W = Q_g - Q_o$, sprawność $\eta = 1 - \tfrac{Q_o}{Q_g} < 1$; II zasada nadaje procesom cieplnym kierunek (entropia rośnie).

Sprawdź swoją wiedzę

Rozwiąż maturalny quiz z termodynamiki (poziom rozszerzony) — zadania obliczeniowe z jednostkami, część wieloetapowa, tak jak na arkuszu CKE: Termodynamika (poziom rozszerzony) — sprawdź się.

Dalsza lektura

• Ciepło i temperatura — podstawy: temperatura, energia wewnętrzna i skale (klasa 7).
• Przemiany fazowe — topnienie, wrzenie i wykres ogrzewania na poziomie podstawowym.
• Energia wewnętrzna ciała — dwa sposoby zmiany energii wewnętrznej (klasa 8).
• Przemiany gazowe — jakościowe ujęcie przemian gazowych (klasa 8).
• Mechanika (zaawansowana) — praca, energia, moc i sprawność w ujęciu mechanicznym.