Matura z fizyki (poziom podstawowy) — arkusz próbny nr 4

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   2,5 m/s²

   Krok 1 — jednostki SI. Prędkości podane w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ zamieniamy na $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, dzieląc przez $3{,}6$: $$v_0 = \frac{36}{3{,}6} = 10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \qquad v = \frac{108}{3{,}6} = 30\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

   Krok 2 — definicja przyspieszenia. $$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t} = \frac{30 - 10}{8} = 2{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $v_0$ — prędkość początkowa, $v$ — prędkość końcowa, $t$ — czas rozpędzania, $a$ — przyspieszenie.

   Typowy błąd: wstawienie prędkości w $\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ bez zamiany — wychodzi wtedy $9$, czyli wynik w mieszanych jednostkach $\tfrac{\text{km}}{\text{h}\cdot\text{s}}$, a nie w $\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Kontrola sensowności: $2{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ to około jednej czwartej przyspieszenia ziemskiego — realna wartość dla motocykla. Powtórz ruch jednostajnie zmienny.

2. 2a.

   2 s

   W najwyższym punkcie prędkość piłki jest równa zeru — to warunek, który rozwiązuje zadanie. W ruchu jednostajnie opóźnionym: $$v = v_0 - g t_w = 0 \quad \Rightarrow \quad t_w = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2\ \text{s}$$ gdzie $v_0$ — prędkość początkowa, $g$ — przyspieszenie ziemskie, $t_w$ — czas wznoszenia. Powtórz ruch pod wpływem grawitacji.

3. 2b.

   20 m

   Najprościej z zasady zachowania energii mechanicznej — energia kinetyczna w chwili wyrzutu zamienia się w energię potencjalną na szczycie: $$\frac{m v_0^2}{2} = m g h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v_0^2}{2 g} = \frac{20^2}{2 \cdot 10} = \frac{400}{20} = 20\ \text{m}$$ gdzie $m$ — masa piłki (skraca się, więc wynik nie zależy od masy), $h$ — maksymalna wysokość.

   Ten sam wynik daje wzór kinematyczny $h = v_0 t_w - \tfrac{g t_w^2}{2} = 40 - 20 = 20\ \text{m}$. Powtórz zasadę zachowania energii.

4. 2c.

   B

   Poprawnie. Ruch jest symetryczny: piłka spada z tej samej wysokości z tym samym przyspieszeniem, więc $t_{sp} = t_w = 2\ \text{s}$, a łączny czas lotu to $t = 2 t_w = 4\ \text{s}$. Wraca też z prędkością o tej samej wartości $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, tylko skierowaną w dół.

5. 3.

   8 m/s²

   W ruchu po okręgu ze stałą wartością prędkości wektor prędkości cały czas zmienia kierunek — dlatego istnieje przyspieszenie skierowane do środka okręgu: $$a_d = \frac{v^2}{r} = \frac{20^2}{50} = \frac{400}{50} = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $v$ — wartość prędkości liniowej, $r$ — promień łuku, $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe.

   Typowy błąd: liczenie $\tfrac{v}{r}$ (to prędkość kątowa, jednostka $\tfrac{1}{\text{s}}$) albo $\tfrac{v^2}{r^2}$ — kontrola jednostek natychmiast wykrywa pomyłkę: $\tfrac{(\text{m}/\text{s})^2}{\text{m}} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ✓. Siłę dośrodkową (tu: tarcie opon) policzylibyśmy jako $F_d = m a_d$. Powtórz ruch po okręgu oraz siłę dośrodkową.

6. 4.

   C

   Poprawnie. To I zasada dynamiki Newtona: ciało, na które nie działa niezrównoważona siła, zachowuje prędkość. Podłoga autobusu zwalnia, ale na górną część ciała pasażera nie działa jeszcze siła hamująca, więc porusza się ona dalej — względem autobusu wygląda to jak wychylenie do przodu.

7. 5a.

   2 m/s²

   Nić jest nierozciągliwa, więc oba klocki poruszają się z tym samym przyspieszeniem. Traktujemy je jako jedno ciało o masie $m_1 + m_2$ i stosujemy II zasadę dynamiki: $$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{10}{2 + 3} = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $F$ — siła zewnętrzna, $m_1, m_2$ — masy klocków. Siły napięcia nici są siłami wewnętrznymi układu i wzajemnie się znoszą, więc na tym etapie ich nie uwzględniamy. Powtórz II zasadę dynamiki.

8. 5b.

   6 N

   Teraz rozpatrujemy tylko tylny klocek $m_2$. Jedyną poziomą siłą działającą na niego jest napięcie nici $N$, więc: $$N = m_2 a = 3 \cdot 2 = 6\ \text{N}$$ gdzie $N$ — siła napinająca nić, $m_2$ — masa ciągniętego klocka, $a$ — wspólne przyspieszenie.

   Kontrola: dla przedniego klocka $F - N = m_1 a$, czyli $10 - 6 = 2 \cdot 2 = 4$ ✓. Napięcie nici jest mniejsze od przyłożonej siły — nić ciągnie tylko część układu.

9. 5c.

   A

   Poprawnie. Przyspieszenie zależy od całkowitej masy układu ($a = \tfrac{F}{m_1+m_2}$), więc się nie zmienia. Zmienia się natomiast to, którą masę ciągnie nić: teraz nić ciągnie klocek $m_1 = 2\ \text{kg}$, więc $N = m_1 a = 2 \cdot 2 = 4\ \text{N}$.

10. 6.

    1500 J

    Pracę wykonuje tylko składowa siły równoległa do przemieszczenia: $$W = F s \cos\alpha = 120 \cdot 25 \cdot 0{,}5 = 1500\ \text{J}$$ gdzie $F$ — wartość siły, $s$ — droga, $\alpha$ — kąt między siłą a kierunkiem przemieszczenia, $W$ — praca.

    Składowa pionowa ($F \sin\alpha$) jest prostopadła do przemieszczenia — nie wykonuje pracy, jedynie odciąża sanki (zmniejsza nacisk na śnieg, a więc i tarcie).

    Typowy błąd: pominięcie czynnika $\cos\alpha$ i wynik $3000\ \text{J}$. Drugi typowy błąd to użycie $\sin\alpha$ zamiast $\cos\alpha$. Kontrola graniczna: dla siły poziomej ($\alpha = 0^\circ$, $\cos 0^\circ = 1$) praca musi być maksymalna — i tak działa właśnie $\cos$. Powtórz pracę, moc i energię.

11. 7.

    1 m/s

    Układ człowiek + łódź jest izolowany w kierunku poziomym, więc obowiązuje zasada zachowania pędu. Pęd początkowy wynosi zero (wszystko spoczywa): $$0 = m_1 v_1 - m_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2} = \frac{60 \cdot 2}{120} = 1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ gdzie $m_1, v_1$ — masa i prędkość człowieka, $m_2, v_2$ — masa i prędkość łodzi. Znak minus oznacza, że łódź odpływa w przeciwną stronę.

    Typowy błąd: przyjęcie, że łódź uzyska taką samą prędkość jak człowiek — zachowany jest pęd, a nie prędkość. Cięższa łódź porusza się wolniej dokładnie tyle razy, ile razy jest cięższa. Tak samo działa odrzut broni i napęd rakietowy. Powtórz zasadę zachowania pędu.

12. 8a.

    44 °C

    Woda gorąca oddaje tyle ciepła, ile pobiera woda zimna (bilans cieplny): $$m_1 c (t_1 - t) = m_2 c (t - t_2)$$ Ciepło właściwe $c$ skraca się (to ta sama substancja): $$2 (80 - t) = 3 (t - 20)$$ $$160 - 2t = 3t - 60 \quad \Rightarrow \quad 5t = 220 \quad \Rightarrow \quad t = 44\ ^\circ\text{C}$$ gdzie $t$ — szukana temperatura końcowa.

    Typowy błąd: liczenie zwykłej średniej temperatur ($\tfrac{80+20}{2} = 50\ ^\circ\text{C}$) — to poprawne tylko wtedy, gdy masy są równe. Tu zimnej wody jest więcej, więc wynik musi być bliżej $20\ ^\circ\text{C}$. Powtórz ciepło i temperaturę.

13. 8b.

    302400 J

    $$Q = m_1 c \Delta t = 2 \cdot 4200 \cdot (80 - 44) = 2 \cdot 4200 \cdot 36 = 302\ 400\ \text{J}$$ gdzie $m_1$ — masa wody gorącej, $c$ — ciepło właściwe wody, $\Delta t$ — spadek temperatury tej wody.

    Kontrola: ciepło pobrane przez wodę zimną to $3 \cdot 4200 \cdot (44 - 20) = 3 \cdot 4200 \cdot 24 = 302\ 400\ \text{J}$ — identycznie, tak jak wymaga bilans. To około $0{,}3\ \text{MJ}$, czyli mniej więcej tyle, ile zużywa czajnik przez $2{,}5$ minuty. Powtórz energię wewnętrzną i ciepło.

14. 8c.

    Prawda

    Prawda. Bilans $Q_{oddane} = Q_{pobrane}$ obowiązuje tylko w układzie izolowanym. Jeśli część energii ucieka na zewnątrz (do naczynia i powietrza), woda zimna dostaje mniej ciepła, więc wspólna temperatura ustala się poniżej wartości obliczonej idealnie. W szkolnych zadaniach zwykle to pomijamy, ale w doświadczeniu efekt jest wyraźny.

15. 9.

    Prawda

    Prawda — to opis wszystkich trzech sposobów przekazywania ciepła naraz:

    • Przewodzenie wymaga kontaktu cząsteczek — w próżni nie ma czego przewodzić.
    • Konwekcja wymaga przepływu płynu (cieczy lub gazu) — w próżni również odpada.
    • Promieniowanie to fale elektromagnetyczne, które rozchodzą się także w próżni (tak dociera do nas energia ze Słońca). Dlatego trzeba je odbić — stąd lustrzana powłoka ścianek.

    Zapamiętaj kontrast: ciepło Słońca dociera do Ziemi przez pustkę kosmiczną wyłącznie przez promieniowanie. Powtórz przepływy ciepła.

16. 10.

    A

    Poprawnie. W ciałach stałych przemieszczają się elektrony (ładunki ujemne). Nadmiar elektronów rozkłada się na całym przewodniku, więc oba listki mają ładunek tego samego znaku — a ładunki jednoimienne się odpychają.

17. 11.

    1,7 Ω

    Krok 1 — jednostki SI. Przekrój podano w $\text{mm}^2$, a we wzorze musi być w $\text{m}^2$. Ponieważ $1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2$: $$S = 0{,}5\ \text{mm}^2 = 0{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^2 = 5 \cdot 10^{-7}\ \text{m}^2$$

    Krok 2 — wzór na opór przewodnika. $$R = \rho \frac{l}{S} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{50}{5 \cdot 10^{-7}} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{8} = 1{,}7\ \Omega$$ gdzie $\rho$ — opór właściwy materiału, $l$ — długość przewodu, $S$ — pole przekroju poprzecznego.

    Typowy błąd: wstawienie $S$ w $\text{mm}^2$ — wynik jest wtedy milion razy za duży. Zapamiętaj zależności: opór rośnie z długością i maleje z grubością przewodu — dlatego do dużych prądów używa się grubych kabli. Powtórz prąd stały i opór.

18. 12a.

    529 Ω

    Łączymy wzór na moc prądu $P = U I$ z prawem Ohma $I = \tfrac{U}{R}$: $$P = \frac{U^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{U^2}{P} = \frac{230^2}{100} = \frac{52\ 900}{100} = 529\ \Omega$$ gdzie $U$ — napięcie znamionowe, $P$ — moc znamionowa, $R$ — opór żarówki. Powtórz pracę i moc prądu.

19. 12b.

    881,7 Ω

    Ten sam wzór, inna moc: $$R = \frac{U^2}{P} = \frac{52\ 900}{60} \approx 881{,}7\ \Omega$$

    Wniosek, który zaraz wykorzystamy: przy tym samym napięciu mniejsza moc oznacza większy opór (opór jest w mianowniku). Żarówka $60\ \text{W}$ ma więc opór około $1{,}7$ razy większy niż żarówka $100\ \text{W}$.

20. 12c.

    B

    Poprawnie. W połączeniu szeregowym przez obie żarówki płynie ten sam prąd $I$, więc porównujemy $P = I^2 R$: większy opór to większa moc wydzielana. Żarówka o niższej mocy znamionowej ($60\ \text{W}$) ma większy opór, więc w tym układzie świeci jaśniej — wbrew intuicji.

21. 13.

    D

    Poprawnie — to reguła Lenza: prąd indukcyjny ma taki kierunek, aby przeciwdziałać przyczynie, która go wywołała. Przyczyną jest zbliżanie magnesu, więc zwojnica „broni się" przed nim, zwracając ku niemu biegun jednoimienny (północny). Dzięki temu spełniona jest zasada zachowania energii — aby wytworzyć prąd, musimy wykonać pracę przeciw sile odpychania.

22. 14.

    3 m

    Podstawowy związek dla każdej fali, w tym elektromagnetycznej: $$c = \lambda f \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{c}{f}$$ Zamieniamy jednostki: $100\ \text{MHz} = 100 \cdot 10^{6}\ \text{Hz} = 10^{8}\ \text{Hz}$. $$\lambda = \frac{3 \cdot 10^{8}}{10^{8}} = 3\ \text{m}$$ gdzie $c$ — prędkość fali elektromagnetycznej w próżni, $f$ — częstotliwość, $\lambda$ — długość fali.

    Typowy błąd: pominięcie przedrostka M (mega $= 10^6$) — wynik byłby wtedy $3$ miliony metrów. Kontrola sensowności: anteny radiowe FM mają około metra długości, co pasuje do fali kilkumetrowej. Powtórz fale elektromagnetyczne.

23. 15.

    D

    Poprawnie. Rezonans mechaniczny występuje, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest zbliżona do częstotliwości drgań własnych układu. Amplituda drgań może wtedy narastać do wartości niebezpiecznych dla konstrukcji — nawet przy niewielkiej sile wymuszającej.

24. 16.

    45 °

    Kąt graniczny to taki kąt padania (od strony ośrodka gęstszego optycznie), dla którego kąt załamania wynosi $90^\circ$ — promień załamany biegnie wtedy wzdłuż granicy ośrodków. Z prawa Snella: $$n \sin\alpha_{gr} = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha_{gr} = \frac{1}{n}$$ $$\sin\alpha_{gr} = \frac{1}{1{,}41} \approx 0{,}71 \quad \Rightarrow \quad \alpha_{gr} = 45^\circ$$ gdzie $n$ — współczynnik załamania szkła, $\alpha_{gr}$ — kąt graniczny.

    Dla kątów padania większych od granicznego światło w ogóle nie wychodzi z ośrodka — zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Na tym opiera się działanie światłowodów i pryzmatów w lornetkach.

    Typowy błąd: liczenie $\sin\alpha_{gr} = n$ zamiast $\tfrac{1}{n}$ — sinus nigdy nie przekracza $1$, więc taki wynik nie ma sensu i od razu widać pomyłkę. Powtórz załamanie światła i kąt graniczny.

25. 17.

    Prawda

    Prawda. Polaryzacja polega na wyróżnieniu jednego kierunku drgań prostopadłego do kierunku rozchodzenia się fali:

    • W fali poprzecznej (światło: drgania pola elektrycznego i magnetycznego) takich kierunków jest nieskończenie wiele, więc można wybrać jeden — polaryzator przepuszcza tylko drgania o określonym kierunku.
    • W fali podłużnej (dźwięk: zagęszczenia i rozrzedzenia powietrza) drgania zachodzą wzdłuż kierunku rozchodzenia się — nie ma czego wyróżniać.

    Możliwość polaryzacji światła była jednym z kluczowych dowodów na to, że światło jest falą poprzeczną. Wykorzystują to okulary przeciwsłoneczne z filtrem polaryzacyjnym, które tłumią odblaski odbite od wody czy jezdni. Powtórz optykę falową.

26. 18.

    $3{,}978 \cdot 10^{-19}$ J

    Łączymy wzór Plancka $E = h f$ ze związkiem $c = \lambda f$, skąd $f = \tfrac{c}{\lambda}$: $$E = h \frac{c}{\lambda}$$ Zamieniamy nanometry na metry: $500\ \text{nm} = 500 \cdot 10^{-9}\ \text{m} = 5 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$. $$E = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{5 \cdot 10^{-7}} = \frac{1{,}989 \cdot 10^{-25}}{5 \cdot 10^{-7}} \approx 3{,}98 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$$ gdzie $h$ — stała Plancka, $c$ — prędkość światła, $\lambda$ — długość fali, $E$ — energia jednego fotonu.

    W elektronowoltach to około $2{,}5\ \text{eV}$ ($1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$) — typowa energia fotonu światła widzialnego.

    Typowy błąd: pominięcie zamiany $\text{nm} \to \text{m}$ (błąd o $10^{9}$) albo mnożenie $E = h c \lambda$ zamiast dzielenia. Zapamiętaj: krótsza fala to większa energia fotonu — dlatego ultrafiolet jest groźniejszy dla skóry niż światło czerwone. Powtórz fizykę atomową i fotony.

27. 19a.

    C

    Poprawnie. W rozpadzie $\beta^-$ neutron zamienia się w proton, więc liczba nukleonów (a więc liczba masowa $A$) się nie zmienia, a liczba atomowa $Z$ rośnie o $1$. Bilans: $A: 14 = 14 + 0$, $Z: 6 = 7 + (-1)$ — elektron ma ładunek $-1$.

28. 19b.

    7 neutronów

    Liczbę neutronów obliczamy jako różnicę liczby masowej i atomowej: $$N = A - Z = 14 - 7 = 7$$ gdzie $A$ — liczba masowa (liczba nukleonów), $Z$ — liczba atomowa (liczba protonów), $N$ — liczba neutronów.

    Kontrola: przed rozpadem węgiel miał $14 - 6 = 8$ neutronów. Jeden z nich zamienił się w proton, więc zostało $7$ neutronów i $7$ protonów — razem nadal $14$ nukleonów ✓. Powtórz budowę jądra i rozpady.

29. 19c.

    Prawda

    Prawda. Przenikliwość rośnie w kolejności $\alpha \lt \beta \lt \gamma$:

    • $\alpha$ (jądra helu, duża masa i ładunek) — zatrzymuje je kartka papieru lub warstwa powietrza,
    • $\beta$ (elektrony) — kilka milimetrów aluminium,
    • $\gamma$ (fala elektromagnetyczna, brak masy i ładunku) — wymaga grubych osłon z ołowiu lub betonu i nigdy nie jest wygaszone całkowicie, a jedynie osłabione.

    Uwaga: większa przenikliwość nie oznacza od razu większej szkodliwości — cząstki $\alpha$ wprowadzone do wnętrza organizmu są bardzo groźne właśnie dlatego, że oddają całą energię na krótkim odcinku. Powtórz promieniowanie jądrowe.

30. 20.

    8000 m/s

    Satelita porusza się po okręgu, a rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji: $$\frac{m v^2}{R} = m g$$ Masa satelity $m$ skraca się (dlatego wynik jest taki sam dla każdego satelity): $$v = \sqrt{g R}$$ Zamieniamy promień na metry: $R = 6400\ \text{km} = 6{,}4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$. $$v = \sqrt{10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^{6}} = \sqrt{6{,}4 \cdot 10^{7}} = 8 \cdot 10^{3} = 8000\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ gdzie $g$ — przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni, $R$ — promień Ziemi, $v$ — pierwsza prędkość kosmiczna.

    To około $8\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$, czyli $28\ 800\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ — okrążenie Ziemi zajmuje wtedy około $90$ minut, co zgadza się z obserwowanym okresem obiegu Międzynarodowej Stacji Kosmicznej.

    Typowy błąd: pozostawienie promienia w kilometrach (wynik $253\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, bezsensownie mały) albo pominięcie pierwiastka. Powtórz grawitację i ruch satelitów.