Matura z fizyki (poziom podstawowy) — arkusz próbny nr 3

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1.

   90 m

   Korzystamy z zależności między prędkością, opóźnieniem i drogą w ruchu jednostajnie zmiennym (bez czasu): $$v^2 = v_0^2 - 2 a s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{v_0^2}{2 a}$$ bo prędkość końcowa $v = 0$. Podstawiamy: $$s = \frac{30^2}{2 \cdot 5} = \frac{900}{10} = 90\ \text{m}$$ gdzie $v_0$ — prędkość początkowa, $a$ — wartość opóźnienia, $s$ — droga hamowania.

   Zapamiętaj: droga hamowania zależy od kwadratu prędkości — dwukrotnie szybszy samochód potrzebuje czterokrotnie dłuższej drogi. Powtórz ruch jednostajnie zmienny.

2. 2.

   200 N

   Siłę ciężkości $F_g = m g$ rozkładamy na dwie składowe: styczną do równi (ściąga klocek w dół zbocza) i prostopadłą do równi (dociska klocek do podłoża): $$F_z = F_g \sin\alpha = m g \sin\alpha = 40 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 200\ \text{N}$$ gdzie $m$ — masa klocka, $g$ — przyspieszenie grawitacyjne, $\alpha$ — kąt nachylenia równi. Cała siła ciężkości wynosi $F_g = 400\ \text{N}$, a składowa prostopadła $F_n = m g \cos\alpha \approx 346\ \text{N}$.

   Typowy błąd: użycie $\cos\alpha$ zamiast $\sin\alpha$ dla składowej stycznej. Sprawdzenie sensowności: dla równi pionowej ($\alpha = 90^\circ$) składowa styczna musi być równa całemu ciężarowi — i faktycznie $\sin 90^\circ = 1$. Powtórz rozkład sił na równi pochyłej.

3. 3a.

   10 kg·m/s

   Pęd jest wektorem, a piłka zmienia kierunek ruchu, więc pędy przed i po odbiciu mają przeciwne znaki. Przyjmując kierunek lotu do ściany jako dodatni: $$|\Delta p| = |m v_2' - m v_1| = m (v_1 + v_2) = 0{,}4 \cdot (15 + 10) = 10\ \tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}$$ gdzie $m$ — masa piłki, $v_1$ — prędkość przed odbiciem, $v_2$ — prędkość po odbiciu.

   Typowy błąd: odejmowanie wartości prędkości ($15 - 10 = 5$) i pominięcie zmiany kierunku — wtedy wynik byłby dwa razy za mały. Powtórz pęd i zasadę zachowania pędu.

4. 3b.

   200 N

   Z II zasady dynamiki w postaci pędowej (twierdzenie o impulsie siły): $$F \Delta t = \Delta p \quad \Rightarrow \quad F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{10}{0{,}05} = 200\ \text{N}$$ gdzie $F$ — średnia siła, $\Delta t$ — czas oddziaływania, $\Delta p$ — zmiana pędu. To siła odpowiadająca ciężarowi ciała o masie $20\ \text{kg}$ — dlatego szybka piłka potrafi wybić szybę.

5. 3c.

   C

   Zmiana pędu $\Delta p$ zależy tylko od masy i prędkości piłki, więc jest taka sama. Ze wzoru $F = \tfrac{\Delta p}{\Delta t}$ widać, że wydłużenie czasu zmniejsza siłę — na tym polega działanie poduszek powietrznych, rękawic i stref zgniotu w samochodach.

6. 4.

   3,7 m/s²

   Ciało o masie $m$ na powierzchni planety ma ciężar $F = G \dfrac{M m}{R^2}$, a jednocześnie $F = m g$. Po skróceniu masy ciała: $$g = \frac{G M}{R^2} = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6{,}4 \cdot 10^{23}}{\left(3{,}4 \cdot 10^{6}\right)^2} = \frac{4{,}27 \cdot 10^{13}}{1{,}16 \cdot 10^{13}} \approx 3{,}7\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $G$ — stała grawitacji, $M$ — masa planety, $R$ — promień planety.

   Typowe błędy: podstawienie promienia bez podnoszenia do kwadratu oraz użycie masy ciała zamiast masy planety. Sensowność: Mars jest znacznie mniejszy od Ziemi, więc $g$ musi być kilka razy mniejsze niż $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Powtórz prawo powszechnego ciążenia.

7. 5.

   A

   Gwiazdy o masie porównywalnej z masą Słońca kończą życie właśnie tak: po wyczerpaniu wodoru jądro się kurczy, warstwy zewnętrzne pęcznieją (czerwony olbrzym), a następnie zostają odrzucone jako mgławica planetarna. Zostaje gorące, gęste jądro — biały karzeł, który już nie prowadzi syntezy, tylko powoli wystyga. Powtórz ewolucję gwiazd.

8. 6.

   16000 W

   Ruch jest jednostajny, więc siła napędowa równoważy opory i wynosi $800\ \text{N}$. Moc to praca w jednostce czasu, a dla stałej siły zgodnej z kierunkiem ruchu: $$P = \frac{W}{t} = \frac{F s}{t} = F v = 800 \cdot 20 = 16\ 000\ \text{W} = 16\ \text{kW}$$ gdzie $F$ — siła napędowa, $v$ — prędkość, $W$ — praca, $t$ — czas.

   Wniosek praktyczny: przy dwukrotnie większej prędkości opór powietrza rośnie około czterokrotnie, więc potrzebna moc rośnie mniej więcej ośmiokrotnie — dlatego szybka jazda tak zwiększa zużycie paliwa. Powtórz pracę, moc i energię.

9. 7a.

   672000 J

   Ogrzewanie bez zmiany stanu skupienia opisuje wzór: $$Q = m c \Delta T = 2 \cdot 4200 \cdot (100 - 20) = 2 \cdot 4200 \cdot 80 = 672\ 000\ \text{J} = 672\ \text{kJ}$$ gdzie $m$ — masa wody, $c$ — ciepło właściwe, $\Delta T$ — przyrost temperatury. Uwaga: $\Delta T$ jest takie samo w stopniach Celsjusza i w kelwinach, więc nie trzeba tu przeliczać skali. Powtórz bilans cieplny.

10. 7b.

    336 s

    Energia pobrana z sieci w czasie $t$ to $W = P t$. Warunek idealny: $$P t = Q \quad \Rightarrow \quad t = \frac{Q}{P} = \frac{672\ 000}{2000} = 336\ \text{s}$$ gdzie $P$ — moc czajnika, $Q$ — ciepło potrzebne wodzie. To około $5{,}6$ minuty. Powtórz pracę i moc prądu.

11. 7c.

    84 %

    Sprawność to stosunek energii użytecznej (ciepła przekazanego wodzie) do energii pobranej z sieci: $$\eta = \frac{Q}{P t} = \frac{672\ 000}{2000 \cdot 400} = \frac{672\ 000}{800\ 000} = 0{,}84$$ czyli $84$%. Brakujące $16$% to energia zużyta na ogrzanie obudowy i grzałki oraz straty do otoczenia.

    Kontrola sensowności: sprawność urządzenia nigdy nie przekracza $100$% — gdyby wynik wyszedł większy, znaczyłoby to, że pomyliliśmy licznik z mianownikiem.

12. 8.

    $3{,}125 \cdot 10^{19}$ elektronów

    Najpierw ładunek, który przepłynął przez włókno: $$q = I t = 0{,}5 \cdot 10 = 5\ \text{C}$$ Ładunek jest skwantowany — każdy elektron wnosi $e$, więc liczba elektronów: $$n = \frac{q}{e} = \frac{5}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 3{,}1 \cdot 10^{19}$$ gdzie $I$ — natężenie prądu, $t$ — czas, $q$ — ładunek, $e$ — ładunek elementarny.

    Typowy błąd: dzielenie natężenia przez ładunek elementarny bez policzenia ładunku $q = I t$ — wtedy gubimy czas przepływu. Powtórz natężenie prądu i ładunek.

13. 9.

    8 V

    W połączeniu szeregowym przez oba oporniki płynie ten sam prąd, a opór zastępczy jest sumą oporów: $$R_z = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\ \Omega$$ $$I = \frac{U}{R_z} = \frac{12}{6} = 2\ \text{A}$$ Napięcie na wybranym oporniku liczymy z prawa Ohma dla tego opornika: $$U_2 = I R_2 = 2 \cdot 4 = 8\ \text{V}$$ gdzie $U$ — napięcie źródła, $R_z$ — opór zastępczy, $I$ — natężenie prądu.

    Kontrola: $U_1 = I R_1 = 4\ \text{V}$, a $U_1 + U_2 = 12\ \text{V}$ — tak jak wymaga tego bilans napięć. Napięcie dzieli się proporcjonalnie do oporów, więc na większym oporniku jest większe. Powtórz połączenia szeregowe i równoległe.

14. 10.

    0,4 N

    Gdy przewodnik jest prostopadły do linii pola, wartość siły elektrodynamicznej wynosi: $$F = B I l = 0{,}4 \cdot 5 \cdot 0{,}2 = 0{,}4\ \text{N}$$ gdzie $B$ — indukcja magnetyczna, $I$ — natężenie prądu, $l$ — długość przewodnika w polu.

    Kierunek siły wskazuje reguła lewej dłoni: linie pola wchodzą w otwartą dłoń, wyprostowane palce pokazują kierunek prądu, a odchylony kciuk — siłę. Siła jest zawsze prostopadła zarówno do pola, jak i do przewodnika (na rysunku skierowana w dół). Na tej właśnie sile opiera się działanie silnika elektrycznego.

    Typowy błąd: dodawanie zamiast mnożenia wielkości albo pominięcie zamiany centymetrów na metry. Powtórz siłę elektrodynamiczną i silnik.

15. 11.

    Prawda

    Prawda. Bieguny różnoimienne się przyciskają, a igła kompasu zwraca swój biegun północny w stronę geograficznej północy. Skoro tak, to biegun magnesu ziemskiego, który tam się znajduje, musi być biegunem południowym (S).

    To nie jest tylko gra słów: pole magnetyczne Ziemi wygląda tak, jakby w jej wnętrzu ukryty był wielki magnes sztabkowy ustawiony biegunem S ku północy geograficznej. Warto też pamiętać, że biegun magnetyczny nie pokrywa się z geograficznym — dlatego kompas wskazuje kierunek z pewnym odchyleniem (deklinacją magnetyczną). Powtórz magnesy i pole magnetyczne.

16. 12.

    D

    Światło rozchodzi się prostoliniowo, więc kształt cienia wynika z geometrii. Punkt na biurku, do którego dociera światło tylko z części powierzchni lampy, jest częściowo oświetlony — to półcień. Mała dioda jest źródłem niemal punktowym, więc półcień praktycznie nie powstaje i brzeg cienia jest ostry. Ten sam mechanizm tłumaczy zaćmienie Słońca obserwowane jako częściowe lub całkowite. Powtórz prostoliniowe rozchodzenie się światła.

17. 13.

    20 cm

    Dla zwierciadła kulistego ognisko leży dokładnie w połowie odległości między wierzchołkiem a środkiem krzywizny: $$f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20\ \text{cm} = 0{,}2\ \text{m}$$ gdzie $R$ — promień krzywizny, $f$ — ogniskowa.

    Na rysunku widać, dlaczego tak jest: promienie biegnące równolegle do osi optycznej po odbiciu przecinają się w jednym punkcie — właśnie w ognisku $F$. Zwierciadło wklęsłe skupia światło (dlatego używa się go w reflektorach i teleskopach), a zwierciadło wypukłe rozprasza i ma ognisko pozorne. Powtórz zwierciadła · optyka geometryczna na maturze.

18. 14a.

    0,4 s

    Okres drgań ciężarka na sprężynie: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}2}{50}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}004} = 6{,}28 \cdot 0{,}0632 \approx 0{,}40\ \text{s}$$ gdzie $m$ — masa ciężarka, $k$ — współczynnik sprężystości sprężyny. Zwróć uwagę, że okres nie zależy od amplitudy drgań. Powtórz drgania harmoniczne.

19. 14b.

    2,5 Hz

    Częstotliwość jest odwrotnością okresu: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}40} = 2{,}5\ \text{Hz}$$ gdzie $T$ — okres drgań. Ciężarek wykonuje więc dwa i pół pełnych drgań w każdej sekundzie.

20. 14c.

    A

    We wzorze $T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{k}}$ masa występuje pod pierwiastkiem, więc czterokrotny wzrost masy wydłuża okres $\sqrt{4} = 2$ razy: $T' = 0{,}8\ \text{s}$.

21. 15.

    487 nm

    Energia fotonu jest równa różnicy energii poziomów: $h f = E_2 - E_1 = \Delta E$. Najpierw zamiana jednostek na SI: $$\Delta E = 2{,}55 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 4{,}08 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$$ Następnie z zależności $E = h f = \dfrac{h c}{\lambda}$ wyznaczamy długość fali: $$\lambda = \frac{h c}{\Delta E} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{4{,}08 \cdot 10^{-19}} = \frac{1{,}99 \cdot 10^{-25}}{4{,}08 \cdot 10^{-19}} \approx 4{,}87 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$$ czyli $\lambda \approx 487\ \text{nm}$ (światło niebieskozielone), bo $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$.

    Typowe błędy: pozostawienie energii w elektronowoltach oraz pomylenie kierunku zależności — im większa energia fotonu, tym krótsza długość fali. Powtórz widma atomowe i poziomy energetyczne.

22. 16.

    Prawda

    Prawda. Energie poziomów w atomie są skwantowane i różne dla każdego pierwiastka, więc emitowane (lub pochłaniane) fotony mają tylko określone energie $h f = E_2 - E_1$ — widmo składa się z charakterystycznych linii, jak „odcisk palca” pierwiastka.

    Właśnie tak odkryto hel — najpierw w widmie Słońca, a dopiero potem na Ziemi. W widmie gwiazd obserwujemy ciemne linie absorpcyjne (pierwiastki chłodniejszej atmosfery gwiazdy pochłaniają dokładnie te długości fali, które same emitowałyby). Powtórz widma atomowe · zastosowanie w astronomii.

23. 17a.

    0,0304 u

    Deficyt masy to różnica między sumą mas swobodnych nukleonów a masą jądra: $$\Delta m = (2 m_p + 2 m_n) - m_{He}$$ $$2 m_p + 2 m_n = 2 \cdot 1{,}00728 + 2 \cdot 1{,}00867 = 2{,}01456 + 2{,}01734 = 4{,}03190\ \text{u}$$ $$\Delta m = 4{,}03190 - 4{,}00151 = 0{,}03039 \approx 0{,}0304\ \text{u}$$ gdzie $m_p$ — masa protonu, $m_n$ — masa neutronu, $m_{He}$ — masa jądra. Jądro jest lżejsze od swoich części — brakująca masa „siedzi” w energii wiązania. Powtórz deficyt masy i reakcje jądrowe.

24. 17b.

    28,3 MeV

    Energię wiązania wyznaczamy z równoważności masy i energii $E = \Delta m c^2$. Korzystając z gotowego przelicznika $1\ \text{u} \to 931{,}5\ \text{MeV}$: $$E_w = \Delta m \cdot 931{,}5 = 0{,}0304 \cdot 931{,}5 \approx 28{,}3\ \text{MeV}$$ gdzie $\Delta m$ — deficyt masy, $E_w$ — energia wiązania. Tyle energii trzeba by dostarczyć, żeby rozdzielić jądro helu na cztery swobodne nukleony.

25. 17c.

    D

    Nukleony przechodzą do stanu silniej związanego, czyli o mniejszej energii. Różnica energii (odpowiadająca deficytowi masy) jest unoszona przez fotony i neutrina — to źródło promieniowania Słońca.

26. 18.

    A

    Na wykresie drogi od czasu prędkość to nachylenie wykresu. Odcinek III jest najbardziej stromy: $$v_{III} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{100 - 40}{10 - 6} = \frac{60}{4} = 15\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ Dla porównania $v_{I} = \tfrac{40}{4} = 10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, a na odcinku II rowerzysta stał ($v = 0$, bo droga się nie zmienia). Powtórz wykresy ruchu.