Matura z fizyki (poziom rozszerzony) — arkusz próbny nr 3

Klucz odpowiedzi

Klucz zaczyna się na nowej stronie. Aby wydrukować sam arkusz, dopisz ?klucz=0 na końcu adresu.

1. 1a.

   2 m/s²

   Na wykresie $v(t)$ przyspieszenie to nachylenie wykresu: $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{10 - 0} = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $\Delta v$ — przyrost prędkości, $\Delta t$ — czas, w którym ten przyrost nastąpił. Powtórz analizę wykresów ruchu.

2. 1b.

   600 m

   Droga to pole pod wykresem $v(t)$. Figura składa się z dwóch trójkątów i prostokąta: $$s_{\text{I}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100\ \text{m}$$ $$s_{\text{II}} = 20 \cdot 20 = 400\ \text{m}$$ $$s_{\text{III}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100\ \text{m}$$ $$s = 100 + 400 + 100 = 600\ \text{m}$$ Ocena sensowności: średnia prędkość wyszłaby $\tfrac{600}{40} = 15\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — mniej niż prędkość maksymalna $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, co jest poprawne, bo samochód część czasu rozpędzał się i hamował.

3. 1c.

   B

   W fazie II prędkość jest stała, więc $a = 0$, a z II zasady dynamiki $F_w = m \cdot a = 0$. Siła napędowa równoważy się wtedy z oporami ruchu — to nie znaczy, że żadna siła nie działa, tylko że siły się znoszą.

4. 2.

   5 m/s

   Prędkości składamy wektorowo. Prędkość łodzi względem wody jest prostopadła do prędkości nurtu, więc wektor wypadkowy jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego: $$v = \sqrt{v_{\ell}^2 + v_r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ gdzie $v_{\ell}$ — prędkość łodzi względem wody, $v_r$ — prędkość nurtu, $v$ — prędkość względem brzegu.

   Typowy błąd: dodanie wartości ($4 + 3 = 7$) — tak wolno robić tylko dla wektorów równoległych i zgodnie skierowanych. Powtórz układy odniesienia i względność ruchu.

5. 3a.

   6 N

   Na poziomym stole siła nacisku równa jest ciężarowi klocka, więc $$T = \mu \cdot F_N = \mu \cdot m_1 g = 0{,}2 \cdot 3 \cdot 10 = 6\ \text{N}$$ gdzie $\mu$ — współczynnik tarcia, $F_N$ — siła nacisku (tu $= m_1 g$). Uwaga: do siły nacisku nie wliczamy masy wiszącego ciężarka — nić ciągnie klocek poziomo. Powtórz dynamikę z tarciem.

6. 3b.

   2,8 m/s²

   Oba ciała poruszają się z tym samym przyspieszeniem (nić jest nierozciągliwa). Siłą napędzającą układ jest ciężar wiszącego ciężarka, a hamującą — tarcie: $$a = \frac{m_2 g - T}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 10 - 6}{3 + 2} = \frac{14}{5} = 2{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ gdzie $m_2 g$ — ciężar wiszącego ciała, $T$ — siła tarcia, $m_1 + m_2$ — masa całego poruszającego się układu. Ocena sensowności: wynik jest mniejszy od $g$, bo część ciężaru „zużywa się" na rozpędzanie klocka i pokonanie tarcia.

7. 3c.

   14,4 N

   Rozpatrujemy tylko wiszący ciężarek. Działają na niego ciężar $m_2 g$ w dół i naprężenie $N$ w górę, a wypadkowa nadaje mu przyspieszenie $a$ w dół: $$m_2 g - N = m_2 a \quad \Rightarrow \quad N = m_2 (g - a) = 2 \cdot (10 - 2{,}8) = 14{,}4\ \text{N}$$ Typowy błąd: przyjęcie $N = m_2 g = 20\ \text{N}$ — to byłoby prawdą tylko wtedy, gdyby ciężarek wisiał nieruchomo. Skoro przyspiesza w dół, naprężenie musi być mniejsze od jego ciężaru.

8. 4.

   250 J

   Pracę wykonuje tylko składowa siły równoległa do przemieszczenia: $$W = F \cdot s \cdot \cos\alpha = 50 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 250\ \text{J}$$ gdzie $F$ — wartość siły, $s$ — przemieszczenie, $\alpha$ — kąt między wektorem siły a wektorem przemieszczenia.

   Typowy błąd: pominięcie $\cos\alpha$ i wynik $500\ \text{J}$. Gdyby lina była pionowa ($\alpha = 90^\circ$), praca wyniosłaby zero — składowa pionowa nie przesuwa skrzyni wzdłuż podłogi. Powtórz pracę, moc i energię.

9. 5.

   Prawda

   Prawda. W modelu Coulomba $T = \mu \cdot F_N$ — występuje tylko współczynnik tarcia $\mu$ (rodzaj powierzchni) i siła nacisku $F_N$. Ten sam klocek ciągnięty „na płask" i „na kant" wymaga w przybliżeniu tej samej siły, bo większe pole styku oznacza jednocześnie mniejszy nacisk na jednostkę powierzchni.

   Uwaga: to model przybliżony — dla opon czy taśm klejących pole styku ma znaczenie, ale na maturze stosujemy wzór $T = \mu F_N$. Powtórz siły tarcia.

10. 6a.

    0,4 s

    Dla oscylatora sprężynowego: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}4}{100}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}004} = 6{,}28 \cdot 0{,}0632 \approx 0{,}40\ \text{s}$$ gdzie $m$ — masa ciała, $k$ — współczynnik sprężystości. Uwaga: okres nie zależy od amplitudy ani od $g$ (inaczej niż dla wahadła matematycznego, gdzie $T = 2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$). Powtórz drgania harmoniczne.

11. 6b.

    0,5 J

    W położeniu skrajnym cała energia jest energią potencjalną sprężystości (prędkość jest tam zerowa): $$E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0{,}1)^2 = 50 \cdot 0{,}01 = 0{,}5\ \text{J}$$ gdzie $A$ — amplituda drgań. Energia całkowita jest stała: w położeniu równowagi zamienia się w całości na energię kinetyczną, skąd $v_{max} = A\sqrt{\tfrac{k}{m}} = 0{,}1 \cdot \sqrt{250} \approx 1{,}58\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

12. 6c.

    A

    Siła sprężystości spełnia $F = -k x$, więc jest największa tam, gdzie wychylenie $|x|$ jest największe. Z II zasady dynamiki $a = \tfrac{F}{m} = -\tfrac{k}{m} x$ — przyspieszenie też jest wtedy maksymalne (a prędkość zerowa).

13. 7.

    300 kPa

    Sztywny zbiornik oznacza stałą objętość — to przemiana izochoryczna (prawo Charles'a): $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad \Rightarrow \quad p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 200 \cdot \frac{450}{300} = 300\ \text{kPa}$$ gdzie $p$ — ciśnienie, $T$ — temperatura bezwzględna (w kelwinach).

    Typowy błąd: podstawienie temperatury w stopniach Celsjusza — w prawach gazowych wolno używać wyłącznie skali Kelvina. Powtórz przemiany gazowe.

14. 8.

    7479 J

    Dla gazu jednoatomowego cała energia wewnętrzna to energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek (trzy stopnie swobody): $$U = \frac{3}{2} n R T = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 8{,}31 \cdot 300 = 3 \cdot 8{,}31 \cdot 300 \approx 7479\ \text{J} \approx 7{,}5\ \text{kJ}$$ gdzie $n$ — liczba moli, $R$ — uniwersalna stała gazowa, $T$ — temperatura bezwzględna.

    Wniosek fizyczny: energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury (a nie od ciśnienia czy objętości) — dlatego w przemianie izotermicznej $\Delta U = 0$. Powtórz termodynamikę.

15. 9.

    44 °C

    Ciepło oddane przez wodę cieplejszą równa się ciepłu pobranemu przez zimniejszą: $$m_1 c (t_1 - t) = m_2 c (t - t_2)$$ Ciepło właściwe $c$ skraca się (obie porcje to woda): $$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 80 + 3 \cdot 20}{2 + 3} = \frac{160 + 60}{5} = 44\ ^\circ\text{C}$$ gdzie $t$ — szukana temperatura końcowa.

    Typowy błąd: liczenie zwykłej średniej temperatur ($50\ ^\circ\text{C}$) — jest poprawna tylko wtedy, gdy masy są równe. Tu przeważa woda zimniejsza, więc wynik jest bliżej $20\ ^\circ\text{C}$. Powtórz bilans cieplny.

16. 10.

    Prawda

    Prawda — termos blokuje wszystkie trzy mechanizmy wymiany ciepła naraz:

    • przewodzenie i konwekcja wymagają ośrodka (cząsteczek), więc próżnia je odcina;
    • promieniowanie przenosi energię także przez próżnię, dlatego ścianki są posrebrzane — błyszcząca powierzchnia odbija promieniowanie podczerwone zamiast je pochłaniać i wypromieniowywać.

    Dlatego termos utrzymuje zarówno gorącą herbatę, jak i zimne napoje. Powtórz przepływy ciepła.

17. 11a.

    100000 V/m

    Pole między okładkami kondensatora płaskiego jest jednorodne: $$E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0{,}002} = 100\ 000\ \tfrac{\text{V}}{\text{m}} = 1 \cdot 10^{5}\ \tfrac{\text{V}}{\text{m}}$$ gdzie $U$ — napięcie między okładkami, $d$ — ich odległość w metrach ($2\ \text{mm} = 0{,}002\ \text{m}$). Typowy błąd: podstawienie $d$ w milimetrach — wynik byłby $1000\times$ za mały. Powtórz pole elektryczne i kondensator.

18. 11b.

    $1{,}6 \cdot 10^{-14}$ N

    $$F = q \cdot E = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1 \cdot 10^{5} = 1{,}6 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$$ gdzie $q$ — wartość ładunku elektronu, $E$ — natężenie pola. Ocena sensowności: siła jest bardzo mała w skali makroskopowej, ale masa elektronu ($9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$) jest jeszcze mniejsza — przyspieszenie wychodzi rzędu $10^{16}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

19. 11c.

    D

    Wektor $\vec{E}$ z definicji wskazuje kierunek siły działającej na ładunek dodatni, czyli od okładki dodatniej do ujemnej. Elektron ma ładunek ujemny, więc siła $\vec{F} = q\vec{E}$ jest zwrócona przeciwnie — ku okładce dodatniej.

20. 12.

    0,85 Ω

    $$R = \rho \cdot \frac{l}{S} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{50}{1 \cdot 10^{-6}} = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 5 \cdot 10^{7} = 0{,}85\ \Omega$$ gdzie $\rho$ — opór właściwy (cecha materiału), $l$ — długość przewodu, $S$ — pole przekroju poprzecznego.

    Zależności do zapamiętania: opór rośnie z długością i maleje z polem przekroju — dlatego do dużych prądów używa się grubych kabli. Typowy błąd: mylenie oporu właściwego $\rho$ z gęstością (ten sam symbol, inna wielkość). Powtórz prąd stały i opór.

21. 13a.

    2 A

    Prawo Ohma dla całego obwodu uwzględnia opór wewnętrzny źródła: $$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{12}{5{,}5 + 0{,}5} = \frac{12}{6} = 2\ \text{A}$$ gdzie $\varepsilon$ — siła elektromotoryczna, $R$ — opór zewnętrzny, $r$ — opór wewnętrzny źródła. Powtórz obwody prądu stałego.

22. 13b.

    11 V

    Napięcie na zaciskach to SEM pomniejszona o spadek napięcia wewnątrz źródła: $$U = \varepsilon - I r = 12 - 2 \cdot 0{,}5 = 11\ \text{V}$$ Kontrola drugą drogą: $U = I \cdot R = 2 \cdot 5{,}5 = 11\ \text{V}$ ✔

    Wniosek: woltomierz podłączony do zacisków pracującej baterii pokazuje mniej niż jej SEM. SEM zmierzymy dopiero przy prądzie bliskim zeru.

23. 13c.

    B

    Mniejsze $R$ oznacza większe $I = \tfrac{\varepsilon}{R+r}$, więc iloczyn $Ir$ rośnie, a $U = \varepsilon - Ir$ maleje. Skrajny przypadek to zwarcie ($R \to 0$): $U \to 0$, a prąd osiąga wartość $\tfrac{\varepsilon}{r}$.

24. 14.

    $4 \cdot 10^{-5}$ T

    Dla długiego prostoliniowego przewodnika: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2\pi \cdot 0{,}05}$$ Skracamy $\pi$ i porządkujemy: $$B = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10}{0{,}05} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}05} = 4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$$ gdzie $\mu_0$ — przenikalność magnetyczna próżni, $I$ — natężenie prądu, $r$ — odległość od przewodnika w metrach ($5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}$).

    Ocena sensowności: wynik jest tego samego rzędu co pole magnetyczne Ziemi (ok. $5 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$) — dlatego igła kompasu przy takim przewodniku wyraźnie się odchyla (doświadczenie Ørsteda). Linie pola są współśrodkowymi okręgami, a ich zwrot wskazuje reguła prawej dłoni. Powtórz magnetyzm.

25. 15.

    200 Hz

    W tonie podstawowym na strunie mieści się połowa długości fali (węzły na obu zamocowanych końcach, strzałka pośrodku): $$L = \frac{\lambda}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2L = 2 \cdot 0{,}5 = 1\ \text{m}$$ Następnie korzystamy z równania fali: $$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{200}{1} = 200\ \text{Hz}$$ gdzie $L$ — długość struny, $\lambda$ — długość fali, $v$ — prędkość fali w strunie.

    Typowy błąd: przyjęcie $\lambda = L$ — wtedy wynik byłby dwa razy większy. Kolejne tony (harmoniczne) mają częstotliwości $2f$, $3f$, ... i to one decydują o barwie dźwięku. Powtórz fale i dźwięk.

26. 16.

    D

    Energia fotonu $E = h f = \tfrac{hc}{\lambda}$ rośnie wraz z częstotliwością, a maleje z długością fali. Promieniowanie $\gamma$ ma najkrótsze fale (poniżej $10^{-11}\ \text{m}$) i najwyższe częstotliwości w całym widmie — dlatego jest promieniowaniem jonizującym.

27. 17.

    33,3 cm

    Zdolności skupiające stykających się soczewek dodają się (z uwzględnieniem znaku — dla soczewki rozpraszającej $Z \lt 0$): $$Z = Z_1 + Z_2 = 5 + (-2) = 3\ \text{D}$$ Ogniskową wyznaczamy z definicji zdolności skupiającej $Z = \tfrac{1}{f}$ (przy $f$ w metrach): $$f = \frac{1}{Z} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\ \text{m} \approx 33\ \text{cm}$$ gdzie $Z$ — zdolność skupiająca w dioptriach ($1\ \text{D} = 1\ \tfrac{1}{\text{m}}$).

    Ocena sensowności: $Z \gt 0$, więc układ nadal skupia, ale słabiej niż sama soczewka skupiająca (jej ogniskowa to $20\ \text{cm}$). Powtórz optykę geometryczną.

28. 18.

    $2 \cdot 10^{-10}$ m

    Hipoteza de Broglie'a przypisuje każdej poruszającej się cząstce falę o długości: $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{3{,}3 \cdot 10^{-24}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$$ gdzie $h$ — stała Plancka, $p$ — pęd cząstki.

    Ocena sensowności: $2 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$ to rząd wielkości odległości międzyatomowych w krysztale — dlatego elektrony ulegają dyfrakcji na sieci krystalicznej (doświadczenie Davissona–Germera) i dlatego działa mikroskop elektronowy. Dla ciał makroskopowych $p$ jest ogromne, więc $\lambda$ jest niemierzalnie mała — falowych własności piłki nie zaobserwujemy. Powtórz dualizm korpuskularno-falowy.

29. 19.

    D

    Oddziaływanie silne działa między nukleonami (protonami i neutronami) na odległościach rzędu $10^{-15}\ \text{m}$ i w tej skali przewyższa odpychanie elektrostatyczne. Ponieważ jego zasięg jest krótki, w bardzo dużych jądrach odpychanie protonów zaczyna wygrywać — stąd nietrwałość ciężkich pierwiastków.

30. 20a.

    B

    W rozpadzie $\beta^-$ neutron zamienia się w proton, elektron i antyneutrino: liczba masowa $A$ nie zmienia się, a liczba atomowa $Z$ rośnie o $1$: $$^{14}\_{\ 6}\text{C} \rightarrow\ ^{14}\_{\ 7}\text{N} + \text{e}^- + \bar{\nu}$$

31. 20b.

    0,000122 1/rok

    Stała rozpadu wiąże się z czasem połowicznego rozpadu zależnością: $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5700} \approx 1{,}22 \cdot 10^{-4}\ \tfrac{1}{\text{rok}}$$ gdzie $\lambda$ — prawdopodobieństwo rozpadu jednego jądra w jednostce czasu, $T_{1/2}$ — czas połowicznego rozpadu.

    Stała rozpadu występuje w prawie rozpadu $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ oraz we wzorze na aktywność próbki $A = \lambda N$. Powtórz obliczenia jądrowe.

32. 20c.

    Prawda

    Prawda. Żywy organizm stale wymienia węgiel z otoczeniem, więc udział $^{14}\_{\ 6}\text{C}$ odpowiada zawartości w atmosferze. Po śmierci wymiana ustaje i pozostały węgiel-14 rozpada się zgodnie z prawem rozpadu — mierząc jego udział, wyznaczamy czas, jaki upłynął. Metoda jest użyteczna do wieku rzędu kilkudziesięciu tysięcy lat (kilka $T_{1/2}$).

33. 21.

    8 lat

    III prawo Keplera dla ciał krążących wokół tego samego centrum: $$\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_Z^2}{a_Z^3} = \text{const}$$ Podstawiamy dane Ziemi ($T_Z = 1$, $a_Z = 1$ — stąd stała równa $1$): $$T^2 = a^3 = 4^3 = 64 \quad \Rightarrow \quad T = \sqrt{64} = 8\ \text{lat}$$ gdzie $T$ — okres obiegu, $a$ — wielka półoś (tu: promień orbity kołowej).

    Ocena sensowności: planetoida jest $4$ razy dalej, ale okrąża Słońce $8$ razy dłużej — bo dalsze ciała mają nie tylko dłuższą drogę, lecz także mniejszą prędkość orbitalną. Powtórz grawitację i ruch satelitów.

34. 22.

    B

    Prędkości w teorii względności składamy wzorem: $$u = \frac{v + u'}{1 + \dfrac{v \cdot u'}{c^2}} = \frac{0{,}5c + 0{,}5c}{1 + 0{,}25} = \frac{c}{1{,}25} = 0{,}8\ c$$ gdzie $v$ — prędkość rakiety względem Ziemi, $u'$ — prędkość sondy względem rakiety. Wynik jest zawsze mniejszy od $c$ — prędkość światła pozostaje granicą nieprzekraczalną.